Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 1 (Элементы математической логики. Множества чисел. Комплексные числа. Производная функции. Дифференциал)

Чесноков Е. А.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Северо – Западная академия государственной службы

Санкт – Петербург, 2008

Введение

Настоящее учебное пособие посвящено …

1.  Сокращенные обозначения в математике

В математической литературе используются ряд символов (знаков), призванных сократить запись наиболее часто встречающихся в математике предложений. Использование математических символов позволяет значительно ускорить процесс конспектирования, а также существенно сократить время записи решения задач. Приведем некоторые наиболее часто встречающиеся символы:

 - знак принадлежности: означает, что элемент  принадлежит множеству

 - знак подмножества: означает, что множество  является подмножеством (составной частью) множества , иначе говоря все элементы, принадлежащие , принадлежат также и

 - знак допущения, заменяет слова «предположим», «допустим»

 - знак существования, как правило заменяет слово «существует»

 - знак произвольности, обычно заменяет слово «любой»

 - знак единственности, используется вместо слова «единственный»

 - знак окрестности (некоторой прилегающей области)

 - знак следствия:  означает, что из утверждения  следует утверждение , то есть при выполнении  обязательно будет выполняться и

 - знак эквивалентности:  означает, что утверждения  и  эквивалентны (равнозначны), то есть  и  выполняются или не выполняются одновременно

 - знак тождественного равенства: например,  подчеркивает, что равенство имеет место при всех , в то время как уравнение  выполняется только при

 - знак приближенного (неточного) равенства

 - знак рассмотрения (глаз), заменяет слово «рассмотрим»

 - знак, заменяющий слова «такое, что»

Перечеркнутый символ означает отрицание, например:

 - «не равно»

 - «не принадлежит»

Пример 1: Предложение «допустим, что существует единственное решение уравнения » можно коротко записать как «»

Пример 2: Предложение «рассмотрим некоторую окрестность точки , такую, что для любого , принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство » эквивалентно записи «».

2.  Элементы математической логики

Доказательства различных математических утверждений в конечном счете основываются на логических связях между некоторыми высказываниями, каждое из которых может быть оценено как истинное или ложное. По сути дела, доказательство некоторого неочевидного утверждения сводится к тому, что это утверждение раскладывается в цепь логически связанных элементарных высказываний, каждое из которых без труда может быть оценено как истинное или ложное. Один раз тщательно проверенная логическая цепь может использоваться в дальнейшем (например, в виде теоремы) как составная часть более длинной цепи, соответствующей некоторому более сложному утверждению. В качестве примера рассмотрим два наиболее часто встречающихся способа математических доказательств: доказательство от противного и метод математической индукции.

Определение 1: Утверждение, состоящее в том, что утверждение  ложно ( не имеет места), называют отрицанием  и обозначают . Отметим, что  .

Определение 2: Логическим сложением утверждений  () называют утверждение, состоящее в том, что по крайней мере одно из двух утверждений ( или ) истинно.

Определение 3: Логическим умножением утверждений  () называют утверждение, состоящее в том, что оба утверждения ( и ) истинны.

Определение 4: Импликацией (логическим следствием)  называют утверждение, состоящее в том, что если утверждение  истинно, то и утверждение  тоже истинно (если  ложно, то импликация считается истинной),  называют условием, - заключением.

Определение 5: Утверждения  и  называют взаимно обратными.

Определение 6: Произведение прямого и обратного утверждений  называют утверждением эквивалентности и обозначают . Утверждение эквивалентности означает, что либо  и  оба истинны, либо они оба ложны, при этом не имеет значения  какое из двух утверждений делать. 

Определение 7: Утверждения  и  называют взаимно противоположными.

Теорема 1:

И то и другое утверждения являются ложными только в одном случае: когда - истинное, а - ложное, в остальных случаях оба утверждения истинны. Ч.Т.Д.

Теорема 2: Прямое и противоположное обратному утверждения эквивалентны (равносильны):

Действительно, из Т1 следует:  Ч.Т.Д.

На непосредственном использовании Т2 основан способ доказательства, который носит название доказательства от противного: делается предположение, которое отрицает следствие импликации (теоремы), после чего показывается, что данное предположение приводит к отрицанию условия импликации, то есть к логическому противоречию, откуда следует вывод об истинности следствия импликации. Другими словами, вместо прямого утверждения  доказывается утверждение противоположное обратному .

Пример 1: Докажем, что число  иррациональное, то есть не может быть представлено в виде несократимой дроби .

Условие теоремы:  ( - несократимая дробь, то есть натуральные числа  и  не содержат в своем составе общих простых чисел).

Следствие теоремы:

Предположим, что следствие теоремы ложно: