15. Производные высших порядков. Ряд Тейлора
Определение 1: Производной второго порядка называют производную от производной. Аналогично, производной -го порядка называют производную от производной -го порядка. Пишут ,
, , . (91)
Пример 1: Найти третью производную от функции .
, , .
Пример 2: Вычислить семнадцатую производную от функции в точке .
,
,
,
…
Нетрудно заметить, что выражение для производной -го порядка может быть записано в виде , откуда, подставляя , получаем.
Наконец, положив , приходим к окончательному результату .
Определение 2: Дифференциалом - го порядка называют величину
. (92)
Как правило, вместо пишут (не путать с ), откуда непосредственно следует одна из форм записи для -й производной: .
Перейдем теперь к введению понятия ряда Тейлора. Для начала сформулируем три задачи, с которыми мы в той или иной степени уже встречались:
Задача 1: Вычислить с любой наперед заданной точностью (например 0.01) .
Отметим, что любой вычислительный алгоритм базируется на четырех основных операциях (сложение, вычитание, умножение и деление), которые могут быть реализованы, например, методом вычисления «в столбик». Если при нахождении числа в качестве алгоритма вычисления может быть предложен метод подбора:
(
и т.д.), то при нахождении четкий алгоритм вычисления на первый взгляд отсутствует.
Задача 2: Аппроксимировать функцию на интервале полиномом с любой наперед заданной точностью.
В предыдущем параграфе в качестве наилучшей аппроксимации функции полиномом первой степени (линейной функцией) вблизи центра интервала была предложена касательная , однако на границе интервала и данная аппроксимация абсолютно не применима. По-видимому, аппроксимация полиномом более высокой степени , содержащим подгоночный параметр, позволит улучшить точность приближения на всем интервале.
Задача 3: Найти предел функции .
Все три перечисленных задачи могут быть успешно решены на основе формулы (ряда) Тейлора, отправной точкой для вывода которой является задача 2.
Определение 3: Функциональным рядом называют ряд, элементами (слагаемыми) которого являются функции , где является, вообще говоря, комплексной переменной.
Определение 4: Степенным рядом называют функциональный ряд вида .
Предположим, что функция может быть представлена в виде степенного ряда
, тогда
, , , , … , откуда получаем . (93)
О представлении функции в виде ряда (93) говорят как о разложении в ряд Тейлора в окрестности точки .
Приведем несколько формул, задающих разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций в окрестности точки :
(94a)
(94b)
(94c)
(94d)
(94e)
Формулы (94a,b) нам уже знакомы (смотри (59), (72)).
Пример 3: Используя общую формулу (93) получить разложение (94b).
Поскольку все производные четного порядка в точке равны нулю (), а значения нечетных производных вычисляются по формуле , имеем Ч.Т.Д.
Отметим, что, как и следовало ожидать, разложение нечетной функции производится только по нечетным степеням переменной . В разложение четной функции , наоборот, входят только четные степени переменной .
На рис. 22 показана аппроксимация функции полиномами 1, 3, 5 и 7 степени, полученными на основании формулы (94b). Как видно из рисунка, повышение степени полинома влечет за собой увеличение точности аппроксимации на всем интервале . При аппроксимации полиномом седьмой степени погрешность (максимальная на краях интервала) не превосходит 10% (решение задачи 2).
В параграфе 13 было показано, что разложение (94b) позволяет без труда найти предел (решение задачи 3).
Пример 4: Используя общую формулу (93) получить разложение (94d).
Поскольку , получаем Ч.Т.Д.
Отметим, что в формулах (94d,e) натуральный логарифм и степенная функция раскладываются в ряд Тейлора в окрестности аргумента, равного единице ().
Разложение данных функций в окрестности нуля невозможно, поскольку не определен в точке , а для степенной функции с показателем при по крайней мере не определены все производные. С другой стороны, при аргументе , как функции, так и все их производные легко вычисляются.
Пример 5: Используя формулы (94d,e), вычислить и с точностью 0.01.
Полагая , , получаем:
(смотри (57)). Как было показано, согласно теореме Лейбница, последовательность частичных сумм сходится:
.
Перейдем к вычислению .
(смотри (4)).
Сходимость ряда вновь следует из теоремы Лейбница: знакочередующийся ряд, , причем в данном случае последовательность частичных сумм сходится быстрее:
(решение задачи 1).
Пример 6: Используя общую формулу (93), разложить полином в ряд Тейлора в окрестности точек и .
Поскольку остальные , получаем:
при : , при : .
Как и следовало ожидать, аппроксимация полинома третьей степени полиномом той же самой (третьей) степени является точной (используя формулу бинома Ньютона (27) легко показать, что обе аппроксимации совпадают при всех ). В то же время, в окрестности точки (например, когда ) можно упростить исходную функцию, заменив ее с высокой точностью линейной (смотри рис. 23). В окрестности точки (например, когда ) исходная функция может быть аппроксимирована параболой .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.