Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 2 (Производные высших порядков. Ряд Тейлора. Раскрытие неопределенностей. Сходимость ряда Тейлора. Ряд Лорана), страница 3

2)  Возможно вычисление пределов при .

Пример 7: Найти предел .

Условия Т2 выполняются: .

Пример 8: Найти предел .

В данном примере мы имеем дело с неопределенностью типа , которая также может быть раскрыта по правилу Лопиталя:

.

Пример 9: Найти предел .

Если в подкоренных выражениях пренебречь слагаемыми  по сравнению с , мы приходим к неверному результату: . Данное обстоятельство обусловлено тем, что старший член разложения (пропорциональный ) для всей функции в целом отсутствует, что делает пренебрежение слагаемыми  незаконным. Более точное рассмотрение дает:  при

.

17. Сходимость ряда Тейлора. Ряд Лорана

Как отмечалось в предыдущем параграфе, существование функции и всех ее производных в точке  позволяет написать ряд Тейлора для данной функции в окрестности точки . Однако для того, чтобы можно было говорить о разложении функции в ряд Тейлора при некотором  (чтобы можно было поставить знак равенства между функцией и соответствующим рядом ), необходимо, чтобы полученный ряд сходился при данном . Оказывается, что в большинстве случаев сходимость ряда Тейлора имеет место не при всех , а только в некоторой окрестности точки .

Определение 1: Множество всех , при которых функциональный ряд  сходится, называют областью сходимости ряда.

Пример 1: Исследовать сходимость ряда Тейлора для функции  в окрестности точки .

В отличие от точки , в которой функция (и все ее производные) не определены, точка  позволяет написать ряд Тейлора:

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию с первым (нулевым) членом  и знаменателем . Как было показано в параграфе 10 (смотри (54)), ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, сходится при  к величине  и расходится при . Что касается границ интервала , то дополнительное рассмотрение показывает:

при :   (сумма ряда равна бесконечности, также как и предел функции изнутри области сходимости );

при :   (ряд расходится, в то время как значение функции равно ). Таким образом, ряд сходится на интервале , симметричном относительно точки .

Теорема 1: Если степенной ряд сходится при некотором , то он сходится (причем абсолютно) и при любом . Наоборот, если степенной ряд расходится при некотором , то он расходится и при любом . 

Действительно, для начала отметим, что из сходимости ряда следует ограниченность последовательности  (  начиная с некоторого  все , следовательно для любого  выполняется ограничение ). Далее, пусть ряд сходится в некоторой точке , тогда , причем для любого  выполняется неравенство , следовательно

. Первая часть теоремы доказана.

Расходимость ряда при любых  доказывается от противного. Действительно, если ряд сходится при , то согласно первой части теоремы он сходится и при , что противоречит условию.  Ч.Т.Д.

Приведенное доказательство полностью справедливо и при рассмотрении комплексных рядов ( - комплексные числа). Таким образом, степенной ряд  сходится абсолютно внутри некоторого круга (на комплексной плоскости) с центром в точке  и радиусом  и расходится вне этого круга. На границе круга степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

Определение 2: Радиус  называют радиусом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости может быть найден по одной из следующих формул:

  (Коши),                  (Даламбер),                    (96)

которые непосредственно вытекают из признаков сходимости Коши и Даламбера (смотри параграф 10).