16. Раскрытие неопределенностей
Ряд Тейлора часто используется для раскрытия
неопределенностей, возникающих при вычислении пределов. Рассмотрим предел
отношения функций . Если в точке
определены обе функции и их производные,
то, разложив числитель и знаменатель по формуле (93) в окрестности точки
, получаем
Отметим, что при каждое последующее
слагаемое в разложении является величиной более высокого порядка малости, по
сравнению с предыдущим, в том случае, если соответствующая производная отлична
от нуля. Данное обстоятельство позволяет сформулировать следующую теорему.
Теорема 1: Если в окрестности точки функции
и
могут
быть разложены в ряд Тейлора, то при вычислении предела
,
как в числителе, так и в знаменателе следует оставлять только первое
отличное от нуля слагаемое разложения (слагаемое с первой не равной нулю
производной).
Данное правило можно сформулировать и для более общего случая.
Теорема 2 (правило Лопиталя): Если
, кроме того, существует конечный или
бесконечный предел
, то
, (95)
где есть любое конечное число или
символ
.
На практике Т2 используется следующим образом.
Если неопределенность типа или
, возникающая при вычислении предела
не может быть раскрыта непосредственно, то
рассматривают предел
. Если при рассмотрении данного
предела вновь возникает неопределенность того же типа, которую вновь не удается
раскрыть непосредственно, то переходят к рассмотрению предела
и так далее.
Как правило, использование Т1 и формул (94) позволяет раскрыть возникающую неопределенность быстрее, однако, в ряде случаев, использование Т2 оказывается более предпочтительным.
Пример 1: Вычислить предел .
В данном случае мы имеем дело с неопределенностью типа .
1-й способ (Т1): Разлагая в ряд
Тейлора в окрестности точки
по формуле (94c), получаем
. Отметим, что как нулевой, так и первый член разложения
числителя и знаменателя в ряд Тейлора отсутствуют (функции и их производные в
точке
равны нулю). Первое отличное от нуля
слагаемое является квадратичным.
2-й способ (Т2):
рассмотрим
. Если вспомнить, что
, то ответ становится очевидным на данном
этапе, в противном случае продолжаем:
. В
данном примере, для раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя нам пришлось
вычислять вторые производные. Это, как и следовало ожидать, находится в
соответствии с тем, что первые отличные от нуля слагаемые при разложении числителя
и знаменателя в ряд Тейлора являются квадратичными.
Пример 2: Вычислить предел .
1-й способ: Поскольку при :
, получаем
. Здесь первые отличные от нуля
слагаемые, как в числителе, так и в знаменателе, являются линейным.
2-й способ: .
Пример 3: Вычислить предел .
1-й способ: Согласно формуле (94e), при имеем:
. Полагая в числителе
, а в знаменателе
,
получаем
. В данном случае первое отличное
от нуля слагаемое в числителе – линейное, а в знаменателе – квадратичное.
2-й способ: .
Пример 4: Вычислить предел .
1-й способ: Поскольку при :
, полагая
,
имеем:
.
2-й способ: .
Пример 5: Вычислить предел .
1-й способ: Поскольку (при
), имеем:
.
2-й способ:
.
Обобщение Т2 по сравнению с Т1 состоит в следующем:
1)
Некоторые
производные могут быть не определены в точке . В этом
случае достаточно существования односторонних пределов (справа или слева).
Пример 6: Найти предел .
Функция не может быть разложена
в ряд Тейлора в окрестности нуля, тем не менее, условия Т2 выполняются:
,
следовательно
. Отметим, что в данном случае
можно воспользоваться и Т1:
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.