Математический анализ функции одной переменной: Учебное пособие. Часть 2 (Производные высших порядков. Ряд Тейлора. Раскрытие неопределенностей. Сходимость ряда Тейлора. Ряд Лорана), страница 2

16. Раскрытие неопределенностей

Ряд Тейлора часто используется для раскрытия неопределенностей, возникающих при вычислении пределов. Рассмотрим предел отношения функций . Если в точке  определены обе функции и их производные, то, разложив числитель и знаменатель по формуле (93) в окрестности точки , получаем

Отметим, что при  каждое последующее слагаемое в разложении является величиной более высокого порядка малости, по сравнению с предыдущим, в том случае, если соответствующая производная отлична от нуля. Данное обстоятельство позволяет сформулировать следующую теорему.

Теорема 1: Если в окрестности точки  функции  и  могут быть разложены в ряд Тейлора, то при вычислении предела , как в числителе, так и в знаменателе следует оставлять только первое отличное от нуля слагаемое разложения (слагаемое с первой не равной нулю производной).

Данное правило можно сформулировать и для более общего случая.

Теорема 2 (правило Лопиталя): Если    , кроме того, существует конечный или бесконечный предел , то                     ,                                                      (95)

где  есть любое конечное число или символ .

На практике Т2 используется следующим образом. Если неопределенность типа  или , возникающая при вычислении предела  не может быть раскрыта непосредственно, то рассматривают предел . Если при рассмотрении данного предела вновь возникает неопределенность того же типа, которую вновь не удается раскрыть непосредственно, то переходят к рассмотрению предела  и так далее.

Как правило, использование Т1 и формул (94) позволяет раскрыть возникающую неопределенность быстрее, однако, в ряде случаев, использование Т2 оказывается более предпочтительным.

Пример 1: Вычислить предел .

В данном случае мы имеем дело с неопределенностью типа .

1-й способ (Т1): Разлагая  в ряд Тейлора в окрестности точки  по формуле (94c), получаем  . Отметим, что как нулевой, так и первый член разложения числителя и знаменателя в ряд Тейлора отсутствуют (функции и их производные в точке  равны нулю). Первое отличное от нуля слагаемое является квадратичным.

2-й способ (Т2):

   рассмотрим  . Если вспомнить, что , то ответ становится очевидным на данном этапе, в противном случае продолжаем: . В данном примере, для раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя нам пришлось вычислять вторые производные. Это, как и следовало ожидать, находится в соответствии с тем, что первые отличные от нуля слагаемые при разложении числителя и знаменателя в ряд Тейлора являются квадратичными.

Пример 2: Вычислить предел .

1-й способ: Поскольку при :  , получаем

. Здесь первые отличные от нуля слагаемые, как в числителе, так и в знаменателе, являются линейным.

2-й способ: .

Пример 3: Вычислить предел .

1-й способ: Согласно формуле (94e), при  имеем: . Полагая в числителе , а в знаменателе , получаем

. В данном случае первое отличное от нуля слагаемое в числителе – линейное, а в знаменателе – квадратичное.

2-й способ: .

Пример 4: Вычислить предел .

1-й способ: Поскольку при : , полагая , имеем: .

2-й способ: .

Пример 5: Вычислить предел .

1-й способ: Поскольку  (при ), имеем:

.

2-й способ:

.

Обобщение Т2 по сравнению с Т1 состоит в следующем:

1)  Некоторые производные могут быть не определены в точке . В этом случае достаточно существования односторонних пределов (справа или слева).

Пример 6: Найти предел . 

Функция  не может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности нуля, тем не менее, условия Т2 выполняются:   , следовательно . Отметим, что в данном случае можно воспользоваться и Т1: .