ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть =
– матрица размера
,
=
– матрица размера
.
Произведение этих матриц
–
матрица
=
размера
, элементы которой вычисляются по формуле:
,
=1,2,…,
,
=1,2,…,
, то
есть элемент
-й строки и
-го
столбца матрицы
равен сумме произведений
соответствующих элементов
-й строки матрицы
и
-го
столбца матрицы
.
ПРИМЕР.
=
,
=
2х3 3х1 2х3 3х1 2х1
Произведение
– не существует.
3х1 2х3
CВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
1.
, даже если оба произведения определены.
ПРИМЕР. ,
, хотя
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Матрицы и
называются
перестановочными, если
, в противном случае
и
называются
неперестановочными.
Из определения следует, что перестановочными могут быть лишь квадратные матрицы одного размера.
ПРИМЕР.
матрицы
и
перестановочные.
, то есть
, значит,
и
– перестановочные
матрицы.
Вообще единичная матрица перестановочна с любой
квадратной матрицей того же порядка, и для любой матрицы . Это свойство матрицы
объясняет, почему именно она называется
единичной: при умножении чисел таким свойством обладает число 1.
Если соответствующие произведения определены, то:
2.
3. ,
4.
5.
ПРИМЕР.
,
2х2 2х1 2х1 1х2
1х2 2х2 1х2
ЗАМЕЧАНИЕ. Элементами матрицы могут быть не только числа, но и функции. Такая матрица называется функциональной.
ПРИМЕР.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА
Каждой квадратной матрице можно по определенным правилам поставить в соответствие некоторое число, которое называется ее определителем.
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:
Её определителем называется число, которое записывается и вычисляется так:
(1.1)
Такой определитель называется определителем второго
порядка и может обозначаться
по-другому: или
.
Определителем третьего порядка называется число, соответствующее квадратной матрице
, которое вычисляется по правилу:
(1.2)
Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников и схематически его можно представить так:
ПРИМЕР. ;
Если справа от определителя приписать первый, а затем второй столбец, то правило треугольников можно модифицировать:
Сначала умножаются числа на главной диагонали и двух ей параллельных диагоналях, затем – числа на другой (побочной) диагонали и ей параллельных. Из суммы первых трех произведений вычитается сумма остальных.
Группируя слагаемые в (1.2) и используя (1.1), заметим, что
(1.3)
То есть при вычислении определителя третьего порядка
используются определители второго порядка, причем –
определитель матрицы, полученный из
вычеркиванием элемента
(точнее, первой строки и первого столбца,
на пересечении которых стоит
),
– вычеркиванием элемента
,
–
элемента
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Дополнительным минором элемента
квадратной матрицы
называется
определитель матрицы, получаемой из
вычеркиванием
-ой строки и
-го
столбца.
ПРИМЕР.
и так далее: матрица третьего порядка имеет 9 дополнительных миноров.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы
называется
число
.
ПРИМЕР.
Для
матрицы :
Для матрицы :
и так далее.
Итак, с учетом сформулированных определений (1.3)
можно переписать в виде: .
Перейдем теперь к общему случаю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Определителем квадратной матрицы порядка
называется число, которое записывается и
вычисляется следующим образом:
(1.4)
Равенство
(1.4) называется разложением определителя по элементам первой строки.
В этой формуле алгебраические дополнения вычисляются как определители -го порядка. Таким образом, при вычислении
определителя 4-го порядка по формуле (1.4) надо, вообще говоря, вычислить 4
определителя 3-го порядка; при вычислении определителя 5-го порядка – 5
определителей 4-го порядка и т.д. Однако если, к примеру, в определителе 4-го
порядка первая строка содержит 3 нулевых элемента, то в формуле (1.4) останется
лишь одно ненулевое слагаемое.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.