СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
1. – очевидно из определения.
2.
Доказательство:
3.
Доказательство:
а) – очевидно. б)
в) В этом случае
|
|
4.
.
Отсюда следует, что
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:
5.
Доказательство:
а) пусть
б) пусть или
, или
.
В первом и втором случаях один из сомножителей –
нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что . В третьем случае
или
, то есть
.
Используя свойства 4 и 5, составим таблицу вычисления
скалярного произведения базисных векторов :
Скалярное произведение |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Пусть в некоторой пдск . Найдем скалярное произведение этих
векторов:
Таким
образом, (2.5)
ПРИМЕР. Найти,
при каком значении векторы
перпендикулярны.
Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно нулю (свойство 5), поэтому найдем
скалярное произведение по формуле (2.5):
ПРИМЕР.
Найти угол между биссектрисой и медианой
, если
Так как ,
то . (2.6)
Найдем координаты векторов и
. Точка
–
середина
, поэтому по формулам (2.4)
.
По
теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника .
Чтобы найти
, вычислим длины
и
:
Разделим
отрезок в данном отношении по формулам (2.3):
, отсюда
.
Заметим, что . Это
замечание позволит нам не иметь дело с дробями, так как
ПРИМЕР.
Найти , если
Воспользуемся свойствами 1–4 скалярного произведения:
.
Отсюда
ЗАМЕЧАНИЕ.
Так как работа силы по перемещению материальной
точки вдоль вектора
вычисляется по формуле
, то
.
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тройка некомпланарных векторов , имеющих общее начало, называется правой
(левой), если с конца третьего вектора
вращение
первого вектора
ко второму вектору
по кратчайшему пути наблюдается против
(по) часовой стрелки (рис. 17).
Рис. 17 |
|
|||
Рис. 18 |
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Векторным произведением вектора на
вектор
называется вектор
,
удовлетворяющий условиям:
1. (
перпендикулярен плоскости векторов
и
).
2. Направление таково,
что тройка
– правая.
3. .
Векторное
произведение обозначается так: или
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Геометрический смысл векторного произведения: длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
.
Это следует из того, что площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон на синус угла между ними.
Заметим, что
Таким образом, длину вектора векторного произведения можно вычислить с помощью скалярного произведения по формуле
. (2.7)
ПРИМЕР.
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
.
По формуле (2.7):
ЗАМЕЧАНИЕ 2.
Направление вектора можно также (кроме п.2) определить
по правилу винта: направление вектора
совпадает
с направлением поступательного движения винта в правой резьбой при вращении
его в сторону поворота первого вектора
ко
второму вектору
по кратчайшему пути (рис. 19).
Рис. 19 |
|
СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
1.
Доказательство:
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.