Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: Конспект лекций, страница 2

Глава 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Этот раздел математики возник в связи с необходимостью решать системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Чтобы решить ее, можно, например, выразить одну из переменных из первого уравнения, подставить во второе, после чего найти неизвестные и .

Однако можно найти решение быстрее: легко убедиться, что

Способ получения этого результата станет ясным, если рассмотреть таблицы, составленные из коэффициентов системы:

, ,

Такие таблицы называются матрицами второго порядка (так как в них две строки и два столбца), а соответствующие числа - определителями. Матрицы и определители играют важную роль при решении более сложных систем линейных уравнений, поэтому начнем изучение линейной алгебры с матриц.

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой матрицей размера mn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей mстрок и n столбцов.

= или = , =1,2,…,, 1,2,…,.

– элемент матрицы, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если , то матрица называется квадратной -го порядка, в противном случае – прямоугольной.

Элементы , = 1, 2, …, n квадратной матрицы А образуют ее главную диагональ.

Матрица размера называется матрицей-строкой, а матрица размера – матрицей-столбцом.

ПРИМЕР. , , ,

3х2 2х3 3х3 4х1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

ПРИМЕР.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, то есть

На главной диагонали могут быть любые числа. Если все они равны 1, то диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой .

ПРИМЕР. – единичная матрица третьего порядка.

– диагональная матрица 3-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю.

ПРИМЕР. – треугольная матрица третьего порядка,

– треугольная матрица второго порядка.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

К числу линейных относятся операции сложения и умножения на число.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть = и =, =1,2,…,, =1,2,…, – матрицы размера . Матрица = также размера называется суммой матриц и , если , =1,2,…,, =1,2,…,.

ПРИМЕР. =, = =

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы = размера на число называется матрица = того же размера, элементы которой , =1,2,…,, k=1,2,…,.

ПРИМЕР. = =

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица называется противоположной для и обозначается .

Очевидно, что для любой матрицы А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью матриц и одного размера называется сумма и обозначается .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Результат конечного числа линейных операций над матрицами называется их линейной комбинацией.

ПРИМЕР. Пусть =, =.

Матрица = – линейная

комбинация матриц и с коэффициентами 2 и 4.

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ

Если , , и – матрицы одного размера, а и – числа, то, очевидно, справедливо следующее:

1. – свойство коммутативности сложения.

2. – свойство ассоциативности.

3. – свойство дистрибутивности.

4. .

5. .

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Эти операции над матрицами не относятся к числу линейных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Транспонированной матрицей для матрицы размера называется матрица размера , полученная из заменой всех ее строк столбцами с теми же порядковыми номерами.