Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: Конспект лекций, страница 14

Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению. Найдем точки пе-

Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами.   – полуфокусное расстояние,   – малая полуось,   – большая полуось эллипса и   (рис. 28).

Отношение полуфокусного расстояния к длине большой полуоси   называется эсцентриситетом  эллипса. Он характеризует форму эллипса. Так как , то , и чем меньше , тем больше эллипс похож на окружность. Для окружности

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнение эллипса, центр которого , а оси симметрии параллельны координатным осям, имеет вид:

                                      .                                            (3.15)

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка эллиптического типа относятся также мнимый эллипс  и точка .

Гипербола

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гипербола – совокупность точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами,  есть величина постоянная, не равная  нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Чтобы вывести уравнение гиперболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокусы   и , а ось ординат – посередине отрезка  перпендикулярно оси абсцисс. Тогда    – фокусы гиперболы (рис. 30). Пусть  – произвольная точка, лежащая на гиперболе.

,                               (3.16)

(3.16) – уравнение гиперболы в выбранной системе координат ( «+» – если разность расстояний  положительна, и «–»  – если отрицательна). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, умножим (3.16) на сопряженное выражение и выполним такие  же действия, как при упрощении уравнения эллипса, после чего получим:

                                  .                                          (3.17)

По определению  Обозначим , тогда (3.17) перепишется в виде:

                                               ,                                              (3.18)

(3.18) – каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.

Из (3.18) следует, что гипербола симметрична относительно осей координат. Если , значит, точек пересечения с  нет; если , то . Точки пересечения с осями симметрии называются вершинами гиперболы. Кроме того, из (3.18) следует, что . Точка пересечения осей симметрии называется центром гиперболы. Ось симметрии, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. При этом фокальная ось также называется действительной (с ней гипербола пересекается), а ось симметрии, с которой гипербола не пересекается, называется ее мнимой осью.

 – полуфокусное расстояние,   – действительная полуось,  – мнимая полуось. Отношение полуфокусного расстояния к длине действительной полуоси называется  эксцентриситетом гиперболы:  . Так как по определению , то .