Учебно-справочное руководство по статистическим расчетам в изучении курса "Математическая статистика", страница 10

          Пусть эмпирическое распределение задано интервальным статистическим рядом

Интервал	х  1 – х  2	х  2 – х 3	…	х i–1 – х i	…	х m –1 – х m
ni	n  1	n  2	…	n  i	…	n m

Объем выборки равен  n = n  ₁+ n ₂+…+ n _m .

Требуется при заданном уровне значимости a проверить, подчиняется ли генеральная совокупность выбранному теоретическому закону распределения f(x).

Выдвинем гипотезы

     Н₀:  Признак Х подчиняется закону распределения f(x)            

    Н₁:  Признак Х не подчиняется закону распределения f(x)

Для проверки сформулированных  гипотез при помощи критерия Колмогорова-Смирнова необходимо выполнить ряд расчетов.

а) Определяют по выборке параметры выбранного теоретического распределения f(x).  Пусть r - число параметров распределения. 

б) Для каждого интервала Х определяют вероятности попадания признака Х в данный интервал. Для этого нужно использовать формулу из теории вероятности

 .

Здесь f(x) – дифференциальная функция распределения, F(x) – интегральная функция распределения. Для многих видов распределения имеются таблицы значений f(x) и F(x).

в) Определяют теоретические частоты

                          .

г) Находят накопленные частоты: для эмпирических частот – n×F_n(x) ; для теоретических частот – n×F(x). Для этого следует для каждого интервала последовательно складывать частоты, начиная с первого интервала и заканчивая текущим интервалом. Результаты расчетов удобно записать в таблицу.

д) Далее вычисляют модуль разности накопленных частот в каждом интервале  ôn×F_n(x) – n×F(x)ô = n×ôF_n(x) – ×F(x)ô.

е) Находят наибольший из полученных модулей

  n ×D = max{n×ôF_n(x) – ×F(x)ô}.

 ж) Определяют наблюдаемое значение критерия согласия Колмогорова

                        .                             

Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения  Колмогорова.

з) По таблице критических точек (приложение 8), используя заданный уровень значимости a находят критическое значение критерия       l_кр =  l(a).

е) Если в результате сравнения окажется l_набл < l_кр, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀; если же  l_набл > l_кр, то нулевая гипотеза H₀ отвергается; принимается гипотеза H₁.

Замечание: в критерии Колмогорова рекомендуется брать более “жесткий” уровень значимости  a ³ 0,1. 

4.6  Примеры

Пример 1.

Предполагается, что применение новой технологии в разработке пластовых месторождений  приведет к увеличению качества угля. Результаты контроля по качеству  добытого угля двумя бригадами, работающими в аналогичных условиях, но использующими разные технологии, приведены ниже. Замеры велись по проценту засорения угля, вырабатываемого одной бригадой за смену по старой технологии (признак Х₁) и новой технологии (признак Х₂).

Х₁ (в %): 13; 10,5; 11; 12; 20; 18,8; 10

 Х₂ (в %): 6; 13; 21; 7; 9; 9; 5; 10

Подтверждают ли эти результаты предположение об эффективности применения новой технологии?  Принять a = 0,01 .

Предположить, что выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей. 

Проведем первичную обработку статистических данных, используя формулы для несгруппированного ряда данных (раздел 2.2, случай а).

Получим по признаку Х₁ :  объем выборки  n=7; 

Выборочная средняя  (13+10,5+11+12+20+18,8+10)/7= 13,61

(13²+10,5²+11²+12²+20²+18,8²+10²)/7= 199,67

Выборочная дисперсия D_в = 199,67 –13,61² = 14,44

Исправленная СКО   S²_x1 =14,44×7/6 = 16,84

Параметры признака Х₂ рассчитываются аналогично:

n=8;     10;     116,625 ;

D_в = 116,625 – 10² = 16,625 :    S²_x2 =16,625×8/7 = 19  .

Вопрос эффективности применения новой технологии сводится к проверке статистической гипотезе о равенстве двух средних (математических ожиданий) генеральных совокупностей. Для корректного решения необходимо убедиться в равенстве дисперсий указанных генеральных совокупностей (п. 2.4.1).

Выдвинем основную и альтернативную гипотезы. 

     Н₀: D(Х₂) = D(Х₁)                                            

     Н₁: D(Х₂) > D(Х₁)                                  

Для проверки гипотез по результатам выборок вычисляем наблюдаемое значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей):

                

Критическая область является правосторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора (приложение 7)

при a =0,01;    k₁ = 8 –1 = 7;  k₂ = 7 –1 = 6

F_кр=F(0,01;7;6) = 8,26

В результате сравнения получим F_набл < F_кр. Значит,  нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀. Следовательно, принимаем гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей.

          Для выяснения эффективности применения новой технологии   проверим статистическую гипотезу о равенстве двух средних генеральных совокупностей (п. 2.4.2).

Выдвинем основную и альтернативную гипотезы.

     Н₀: M(Х₁) = M(Х₂)      

     Н₁: M(Х₁) > M(Х₁)           

Принятие нулевой гипотезы Н₀  даст основания считать, что новая система технологии добычи угля не приводит к изменению засорения угля.

Принятие гипотезы H₁ будет значить, что новая система технологии  приводит к уменьшению засорения угля, и, следовательно, она эффективна.

Для проверки гипотез по результатам выборок вычисляем наблюдаемое значение критерия                 

        

Этот критерий является случайной величиной, которая подчиняется закону распределения Стьюдента с  k =7+8–2=13  степенями свободы.

Критическая область является правосторонней. Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 6, односторонняя критическая область)  

 t_кр = t(0,01;13) = 2,65.

В результате сравнения получим T_набл < t_кр . Значит,  нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу H₀. Следовательно, новая система технологии не приводит к изменению качества угля по засорению. Она не эффективна.

Пример 2