Программа профильной лаборатории «Учебное исследование в математике», страница 6

Тема 6: Задачи древности: трисекция угла

Из множества задач, которые изучаются в школьном курсе геометрии, есть особенные – так называемые задачи на построение при помощи циркуля и линейки (конечно, геометрической  т.е. без делений).  Например, можно ли разделить угол 90º на три равные части при помощи циркуля и линейки?

Для какого класса углов задача имеет решение, т.е. можно ли осуществить трисекцию угла 15º, 45º, 125º, 240º, 19º?  Или какие-то можно, а какие-то нет? А с чем это связано? Как узнать по градусной мере разделится ли угол? И в общем, изучить задачу древности о трисекции угла.

Изучая эту задачу по книгам из истории математики можно узнать какие помощники и способы решения были изобретены учёными, живущими в разных веках. Например, как выглядит кривая со звучным названием «квадратриса», придуманная более 25 столетий назад. Выяснить как с помощью неё можно выполнить невозможное для циркуля и линейки построение. Узнать, что Архимед -- автор не только законов физики.

Работая над этой задачей можно убедиться, что полученные знания на уроках математики можно использовать для решения самых обыденных задач. А также можно самостоятельно доказать то, что не могли сделать несколько веков! Изучить или открыть самому свойства известных геометрических объектов. Результатом работы может стать теория «делимости углов» разного вида на три части при помощи циркуля и линейки, её возможности и ограничения. Например, доказать неразрешимость этой задачи…, придумать свой способ справиться с  знаменитой трудностью.

Тема 7. Построение примера аналогичного множества, конгруэнтного своим подмножествам.

Что, новое слово? Ещё не встречались с таким термином? Да, эта тема для тех, кто не боится сложных вопросов и умеет получать удовольствие от доказательств.

Эту задачу Школе молодого учёного подарил доктор физико-математических наук, профессор Август Карлович Цих на одном из наших интенсивов.  Он рассказал о множествах. Одно из них (множество Стромберга)  «тождественно» (конгруэнтно) своим подмножествам, например: множество всех целых чисел содержит столько же элементов, сколько и множество всех четных целых чисел. Не верите? Доказано.

Множество, которое предлагается изучить в этой работе ещё интересней и принцип его построения описан в книге А.К. Циха. Задача творческой работы: изучить описанное в книге множество Стромберга, которое целиком конгруэнтно своим частям и придумать свое аналогичное множество.

Первая попытка построить такой пример была сделана выпускниками 2003 года нашей гимназии, когда они были ещё 10-иклассниками. Нам тогда чуть-чуть не хватило настойчивости настоящих ученых. Но осталось много материалов.

Работая над этой темой можно узнать, что такое множество, что бесконечности бывают разные, как можно пересчитать бесконечные количества, что такое комплексные числа. Освоить правила работы с векторами и убедиться, что изучаемые правила и законы на уроках математики нужны. Научиться работать с бесконечностью и создавать красивое с помощью формул.

И… стать автором публикации в настоящем журнале, например «Квант» -- это если получиться придумать аналогичный пример.

Тема 8. Применение комплексных чисел и метода алгебраической геометрии для решения некоторых уравнений в целых числах.

Задачу нахождения всех целочисленных решений уравнения а²+в²=с² (задачу о Пифагоровых тройках) по праву можно считать одной из знаменитых задач древности. Каждое поколение математиков пыталось решить и обобщить эту задачу, используя имеющийся в распоряжении данного времени математический аппарат. Современники Пифагора находили решения уравнения а²+в²=с² при помощи фигурных чисел.

Вам предлагается разобраться с некоторыми сложившимися в науке методами решения подобных уравнений, изучить границы применения этих методов и возможности обобщения уравнений такого типа.