Ещё древние вавилоняне умели решать следующую простую задачу. «Площадь прямоугольника равна 40, а сумма двух его сторон равна 10. Найдите стороны прямоугольника». Решали они её обычно так. Пусть x + y = 10, xy = 24. Удобно воспользоваться симметрией условия и положить x = 5 + z, y = 5 – z, так что первое уравнение выполняется автоматически. Тогда из второго уравнения получаем (5 + z)(5 – z) = 25 – z2 = 24, откуда z2 = 1, и z = 1. Тем самым x = 6, у = 4.
Но мы можем придумывать разные условия. Представим, к примеру, что кому-то предложена следующая задача: «Площадь прямоугольника равна 40, а сумма двух его сторон равна 10. Найдите стороны прямоугольника». Аналогичные действия приводят к уравнению 25 – z2 = 40, то есть z2 = –15. Обычно в таком месте человек останавливался и говорил: «отрицательных квадратных чисел не бывает, эта система решения не имеет, таких прямоугольников нет». И так было всегда.
Но в XVI
веке в Италии жил человек по имени Джироламо Кардано. Вообще-то его считали
лучшим врачом Европы, но сегодня он более известен автомобилистам как человек,
который изобрёл карданов вал. А ещё он занимался астрологией, хиромантией и
натуральной магией. К чему стремится маг в своих занятиях? Он пытается овладеть
тайными силами, заключёнными в природе. Но может быть и в числах заключены
некие тайные силы? Во всяком случае, Кардано мог думать так или примерно так. И
он сказал: «Давайте считать, что наше уравнение имеет решение; и мы будем
говорить, что 
. Ну, пусть это будет такой
корень. А тогда стороны нашего прямоугольника будут равны 
и 
.
Ведь и в самом деле, если сложить эти два выражения, получится 10, а если их
перемножить, получится 
.
Правда, это какой-то странный прямоугольник получился. Говорить мы о нём можем, конечно, — а нарисовать его не можем. Вроде бы он есть, а вроде бы его и нет. Однако математики послушали Кардано и решили посмотреть на то, не могут ли им такие странные корни пригодиться. И они им в самом деле вскоре пригодились! Дело в том, что с помощью мнимых чисел математики научились решать в общем виде кубические уравнения, причём в конце всё сокращалось и корни уравнения оказывались действительными. Это сильно способствовало признанию мнимых чисел, но понимания не прибавляло.
Первым человеком, сумевшим построить модель, объясняющую удивительные свойства мнимых и комплексных чисел, был Каспар Вессель, живший в конце XVIII века в Дании. Надо заметить, что Вессель был не математиком, а геодезистом, и занимал пост главного руководителя геодезических работ Датской Академии наук. Чем занимаются геодезисты? Они составляют съёмочные обоснования для топографических карт. Чтобы карта была точной, нужно первым делом выбрать некоторые точки местности и определить их взаимное положение. Непосредственное измерение расстояний на местности — дело очень трудоёмкое. Поэтому его стараются выполнять как можно реже. Обычно геодезисты промеряют рулеткой одну базу — расстояние между двумя точками, а положение всех прочих точек сети находят методом триангуляции, измеряя углы. Может быть, вы видели где-нибудь в лесу или в поле высокую треугольную вышку — геодезический пункт. Геодезист поднимается на вершину такого пункта с теодолитом, и определяет точные направления на другие видимые ему пункты. В результате таких измерений строится триангуляционная сеть. Точность геодезических измерений — очень высокая, углы могут измеряться с точностью до минуты. Чертить на бумаге с такой точностью невозможно. Поэтому в геодезии стараются больше измерять и вычислять, и меньше чертить. Геодезист знает расстояние между базовыми точками A и B, и азимуты различных направлений, — и ему нужно уметь вычислять по этим данным расстояния и азимуты направлений между любыми другими точками сети.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.