Пробное учебное пособие по темам «Ломаная», «Четырехугольник», «Площадь» для восьмого класса, страница 8

Все ли незамкнутые ломаные имеют вершин на одну больше, чем звеньев?

Нет (рис.1.10). Незамкнутые ломаные с самопересечением в вершинах имеют вершин либо столько же, сколько звеньев, либо меньше.

Факт: На одну больше вершин, чем звеньев имеют незамкнутые ломаные без самопересечения в вершинах и только они.

А какие численные соотношения звеньев и вершин имеют замкнутые ломаные?

У вас наверно появилась гипотеза, что у замкнутых ломаных число вершин равно числу звеньев. Всегда ли это так?

Задание: Приведите примеры ломаных, опровергающие гипотезу.

Многоугольник – это замкнутая ломаная, у которой число вершин равно числу звеньев.

Какие ломаные являются многоугольниками?

Факт: Простые замкнутые ломаные есть многоугольники.

Как и в случае с ломаными, у которых вершин на одну больше, чем звеньев, класс многоугольников не исчерпывается только простыми ломаными.

Задание: Приведите примеры ломаных с самопересечением, которые являются многоугольниками.

Факт: Замкнутая ломаная без самопересечения в вершинах является многоугольником (рис.1.11)

Конечно, некоторым из вас хотелось бы называть многоугольниками только фигуры типа 1.11.а), то есть простые замкнутые ломаные. Так оно и будет в следующих темах. Но для выделения таких многоугольников кроме эмоционального отношения нужны математические аргументы.

Вопрос для общеклассной дискуссии: Какие существенные отличия есть между многоугольниками на рис.1.11?

Плоским многоугольником или многоугольной областью называется часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной (рис.1.12).

Ввиду важности простых замкнутых ломаных, которые являются границами области, имеет смысл их назвать.

Простые замкнутые ломаные называются простыми многоугольниками.

5.2.2 Элементы многоугольника.

 Из чего состоит многоугольник? Из точек (вершин многоугольника), последовательно соединяющих их отрезков (сторон многоугольника), и образованных этими отрезками углов (углов многоугольника).

Нам известно, что числа сторон и вершин многоугольника находятся в отношении равенства. А в каких соотношениях находятся числа сторон и углов (вершин и углов)? Оказывается, что многоугольник имеет столько же углов, сколько сторон и вершин. Оформим этот факт в виде теоремы.

Теорема: У многоугольника числа вершин, сторон и углов равны.

Будет ли справедливой обратная теорема? Является ли равенство чисел сторон, вершин и углов критерием многоугольника: ломаная является многоугольником тогда и только тогда, когда у нее числа звеньев, вершин и углов равны?

Дадим структурное определение многоугольника.

Многоугольник – это фигура, состоящая из одинакового числа вершин, сторон и углов.

Если число вершин, сторон и углов известно, - n, то многоугольник называют n-угольником.

Вспомним, что многоугольник является ломаной. По этой причине можно говорить о длине многоугольника (периметре), соседних вершинах и соседних сторонах многоугольника.

Задание: Дайте определения периметра, соседних сторон и соседних вершин многоугольника.