Пробное учебное пособие по темам «Ломаная», «Четырехугольник», «Площадь» для восьмого класса, страница 6

Ломаная – это фигура, состоящая из звеньев и вершин.

В каком отношении могут находиться вершины ломаной? Каково соотношение звеньев ломаной? Каково соотношение звеньев и вершин ломаной?

Будем отвечать по порядку.

5.1.3 Соотношение вершин ломаной.

Прежде всего, вершины – это точки. А в курсе геометрии 7 класса изучались отношения точек.

Задание: Вспомнить, в каких отношениях могут находиться точки.

Для точек, являющихся элементами какой-либо фигуры, было введено отношение соседства и приведен пример: точка С на отрезке АВ по отношению к точкам А и В является соседней (рис. 1.4).

Могут вершины ломаной находиться в отношении соседства? Да, потому что вершины являются элементами ломаной. Тогда какие вершины ломаной считать соседними? Предлагаем вам самим ответить на этот вопрос.

Вспомним, вершинами мы назвали не просто точки, а точки соединения звеньев и концы ломаной. Рассмотрим теперь отношение вершин как отношение точек разных типов.

Любую вершину любой ломаной можно однозначно отнести к тому или иному типу точек? Может ли одна вершина быть одновременно концом ломаной и точкой соединения? Оказывается, может (рис. 1.5).

Задание: Нарисовать самую простую n-звенную ломаную с вершиной, которая является концом ломаной и точкой соединения.

Что особенного у ломаной, которую вы нарисовали?

Дадим вашей ломаной название.

Ломаная называется замкнутой, если имеет вершину, служащую ей началом и концом (рис. 1.6).

Вопрос для общекласной дискуссии: Все соотношения вершин рассмотрены?

5.1.4 Соотношение звеньев ломаной.

Что такое звено ломаной? Это один из отрезков, составляющих ломаную. Следовательно, соотношение звеньев есть соотношение отрезков. А про отрезки нам известно, что они могут пересекаться или не пересекаться.

Отрезки пересекаются, если имеют хотя бы одну общую точку. Есть такие звенья ломаной, которые имеют общую точку? Взгляните на генетическое определение ломаной. Там есть ключевые слова «…последовательность соединенных концами отрезков». О чем это говорит? О том, что любые два последовательно соединенных звена имеют общую точку, то есть пересекаются.

Назовем два последовательно соединенных звена соседними.

Соседние звенья ломаной образуют угол ломаной.

Вопрос для общеклассной дискуссии: Являются ли первое и последнее звено замкнутой ломаной соседними?

Итак, соседние звенья всегда пересекаются. А что можно сказать о несоседних звеньях? Они могут как пересекаться, так и не пересекаться.

Что происходит, когда несоседние звенья пересекаются? Появляется точка их пересечения. Эта точка не является вершиной. Данная точка имеет другое значение: в ней ломаная пересекает саму себя. Как новому элементу ломаной точке пересечения несоседних звеньев надо дать название.

Точкой самопересечения ломаной называется точка пересечения несоседних звеньев ломаной.

Ломаная, имеющая точку самопересечения, называется ломаной с самопересечением.

Вопрос для общекласной дискуссии: Верно ли утверждение "Ломаная не имеет самопересечений, если ее звенья не имеют других общих точек кроме вершин"?

Ломаная без самопересечения называется простой ломаной.