Проблема уникурсальности и проблема фигуры, имеющей длину, послужили основанием для выбора того, что ломаная – последовательность.
Проблема уникурсальности «состоит в том, чтобы выяснить, можно ли обвести контур данной сети (геометрической фигуры специального вида), не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждой линии один и только один раз… Сеть может располагаться на плоскости или в пространстве и представлять собой какое-то количество точек, соединенных линиями, - прямыми, искривленными или извилистыми.» [5, с.264-265]
Заметим, что любое множество соединенных концами отрезков является сетью. Эта сеть уникурсальна тогда и только тогда, когда отрезки соединены последовательно.
Проблема фигуры, имеющей длину, заключается в распространении понятия длины на отличные от отрезка фигуры.
О длине фигуры мы имеем право говорить, когда фигура имеет одно начало и один конец. Для того, чтобы множество соединенных концами отрезков имело длину, необходимо и достаточно, чтобы отрезки были соединены последовательно.
Итак, ломаной мы назвали фигуру, которую можно представить в виде последовательности соединенных концами отрезков.
3. Наше определение ломаной отличается от традиционного, согласно которому «ломаной А1А2А3…Аn называется фигура, которая состоит из точек А1, А2, …, Аn и соединяющих их отрезков А1А2, А2А3, …, Аn-1Аn» [17, c.200]. Поэтому появилась проблема эквивалентности определений ломаной.
Судя по традиционному определению ломаной и рисункам, сопровождающим тексты, авторы учебников исключают существование ломаных с самопересечением в вершинах. А в нашем учебнике ломаные с самопересечением в вершинах появляются в результате исследования соотношений, в которых могут находиться звенья ломаной.
Таким образом, наше определение ломаной оказалось шире традиционного.
При исследовании соотношений звеньев мы пропустили случай наложения звеньев.
Ломаные с накладывающимися звеньями в математике существуют. Например, они важную роль играют в ТФКП при определении внутреннего расстояния между двумя точками в области с разрезами. Но, имея в будущем применять ломаные для вычисления длин кривых (например, окружности), мы решили ломаные с наложением звеньев не рассматривать.
4. В существующих учебниках по геометрии почти не уделяется внимания незамкнутым ломаным. Так, в учебнике Погорелова на основе определения замкнутых ломаных можно лишь догадываться о существовании незамкнутых ломаных.
«Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают» [17, c.202].
В учебнике Щетникова незамкнутым (разомкнутым) ломаным уделено больше внимания.
«Отметим на плоскости n точек (n≥3), пронумеруем их в некотором порядке и соединим отрезками точки с последовательными номерами. Построенная линия называется разомкнутой ломаной.… Соединив отрезком первую и последнюю вершины разомкнутой ломаной, мы получим замкнутую ломаную» [24, c.29].
Таким образом, появилась проблема в соотношении содержания частей учебника, посвященных замкнутым и незамкнутым ломаным.
Принятый в учебниках «Геометрия 7» и «Геометрия 8» лаборатории РО математики ИППР методологический принцип разделения на общий и особые случаи помог разрешить эту проблему.
Незамкнутые ломаные являются общим случаем ломаных: длины звеньев незамкнутой ломаной не подчинены никаким условиям, в то время как у замкнутой ломаной длина любого звена всегда меньше суммы длин других звеньев.
Как общему случаю ломаных незамкнутым ломаным в нашем учебнике уделяется больше внимания, чем в [17] и [24].
5. Как в классических (см. [17]), так и в инновационных учебниках (см. [24]) помимо простых ломаных упоминаются ломаные с самопересечением.
«Многоугольником называется замкнутая ломаная линия без самопересечений…» [24, c.29].
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.