Пробное учебное пособие по темам «Ломаная», «Четырехугольник», «Площадь» для восьмого класса, страница 21

«Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. На рисунке 273.а показана простая ломаная, а на рисунке 273.б – ломаная с самопересечением (в точке В).

…» [17, c.201].

Появляется проблема в соотношении содержания частей учебника, посвященных простым ломаным и ломаным с самопересечением.

Принятый принцип выделения общего и частных случаев нам не помог. Прибегнуть к нему мы бы могли в том случае, если бы материал располагался по простым – непростым ломаным. Проводимое в учебнике исследование проблемы соотношения числа вершин и числа звеньев послужило причиной расположить материал по замкнутым – незамкнутым ломаным. Замкнутость оказалась важнее простоты, потому что по численным соотношениям звеньев и вершин можно определить, является ли ломаная замкнутой, но установить наличие самопересечений не удается.

Помог в решении проблемы не принцип разделения на общий и особые случаи, а исследование проблемы соотношений числа звеньев и числа вершин. Оно показало, что одно и то же соотношение может быть у простых ломаных и у ломаных с самопересечением.

«Многоугольник – это замкнутая ломаная, у которой число вершин равно числу звеньев.

Какие ломаные являются многоугольниками?..

Факт. Замкнутая ломаная без самопересечений в вершинах является многоугольником.» [с. 18].

Таким образом, основное содержание учебника, то есть исследование проблемы, потребовало от авторов рассмотреть ломаные с самопересечением в большем объеме, чем это принято.

6. При введении представления о многоугольнике мы столкнулись с проблемой определения многоугольника. Во всех просмотренных учебниках многоугольником называют простую замкнутую ломаную или область, ограниченную простой замкнутой ломаной.

«Замкнутая ломаная, не имеющая самопересечений, ограничивает многоугольник» [21, c.44].

«Многоугольником называется (1) замкнутая ломаная линия без самопересечения; (2) часть плоскости, ограниченная этой линией» [24, c.29].

В математической энциклопедии [12] многоугольником называют любую замкнутую ломаную.

Проблема соотношения числа звеньев и числа вершин послужила основанием назвать многоугольником замкнутую ломаную с равным числом звеньев и вершин (замкнутую ломаную без самопересечений в вершинах). Таким образом наше определение многоугольника оказалось шире, чем в [24] и [21] , но уже, чем в [12].

Назвав многоугольником замкнутую ломаную без самопересечений в вершинах, мы столкнулись с проблемой отличия непростого многоугольника от замкнутой ломаной с самопересечением в вершине.

Выход из проблемы мы видим в последовательном перечислении всех вершин многоугольника, и именно в перечислении, а не обозначении на рисунке.

Разницу между обозначением и перечислением показывает следующий пример.

На рис.4.6 изображена ломаная с вершинами А, В, С, Е, D. От того, как эта ломаная обозначается, то есть от последовательности перечисления ее вершин , зависит ее тип. Если ломаная на рис.4.6 обозначается как АВСDЕ, то данная ломаная является многоугольником (пятиугольником); если же ломаная обозначается как АВСDЕС, то она – шестизвенная ломаная с самопересечением в вершине С.

7. Теорема о сумме углов многоугольника является центральной в главе «Ломаная». Она решает проблему распространения теоремы о сумме углов треугольника на произвольный многоугольник.

В классических учебниках [17], [3] теорема о сумме углов многоугольника рассматривается не в полной общности, а сужается на выпуклые многоугольники. По всей видимости, классический способ Евклида измерения углов через поперечину, при котором величина любого угла меньше 180^о, заложил традицию рассматривать только выпуклые многоугольники, что приводит к путанице линейных и плоских углов, а зачастую и к путанице понимания самого многоугольника как линейной и плоской фигуры.