Пробное учебное пособие по темам «Ломаная», «Четырехугольник», «Площадь» для восьмого класса, страница 17

Дадим полное определение площади многоугольника.

Площадь многоугольника – это положительная величина, характеризующая часть плоскости, ограниченную многоугольником, обладающая следующими свойствами:

1.  Квадрат со стороной, равной единице измерения е, имеет площадь е²;       

2.  Равные фигуры имеют равные площади;

3.  Площадь фигуры равна сумме площадей ее частей, при условии, что части фигуры имеют площадь.

§ 3.3 Площадь параллелограмма.

Рассмотрим произвольный параллелограмм ABCD (рис.3.6).

Чтобы найти площадь параллелограмма, нам нужно разбить его на фигуры, площади которых мы сможем найти.

Напомним, что нам известны формулы для вычисления площадей прямоугольника, прямоугольного треугольника и ромба. На какие из этих фигур лучше разбить параллелограмм?

Выделять в параллелограмме ромб не имеет смысла, так как та часть параллелограмма, которую не занимает ромб, так же является параллелограммом (рис.3.7).

Посмотрим, какие результаты даст выделение прямоугольного треугольника.

Из вершины В на сторону AD опустим перпендикуляр ВЕ. Из вершины D на сторону ВС опустим перпендикуляр DF (рис.3.8).

Получилось два равных прямоугольных треугольника и четырехугольник EBFD, который является прямоугольником.

Площади всех полученных фигур мы можем найти. Следовательно, мы можем найти и площадь параллелограмма ABCD.

S_ABCD=S_ABE+S_EBFD+S_FCD=2S_ABE+S_EBFD=2*(AE*BE/2)+BE*ED=BE(AE+ED)=BE*AD

Таким образом, площадь параллелограмма равна произведению стороны на перпендикуляр, соединяющий данную сторону с противолежащий.

В силу своей важности перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на прямую, содержащую противоположную сторону, получил название – высота.

Кроме параллелограмма высоты имеют трапеция и треугольник.

Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другой основание.

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Задание: Доказать, что площадь произвольного треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

§ 3.4 Площадь трапеции.

Вычислим площадь трапеции.

Как и в случае параллелограмма, трапецию нужно разбить на фигуры, площади которых мы сумеем найти.

Задание: Определите, на какие фигуры следует разбить трапецию, чтобы удобно было найти ее площадь.

Мы предлагаем разбить трапецию на два треугольника.

Согласно третьему свойству площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников.

Площадь треугольника можно выразить через любую сторону и проведенную к ней высоту. Но так как у нас два треугольника, то вычислять площадь трапеции будет удобнее, если в формулах вычисления площадей наших двух треугольников какие-нибудь величины будут равны.

Треугольники, на которые мы разбили трапецию, имеют общую сторону – диагональ трапеции. Других равных сторон наши треугольники в общем случае не имеют.

Задание: Нарисуйте различные случаи расположения высот треугольников, опущенных из противолежащих диагонали трапеции вершин.