Пробное учебное пособие по темам «Ломаная», «Четырехугольник», «Площадь» для восьмого класса, страница 26

8.  В учебнике нет примера многоугольника, у которого соседние звенья лежат на одной прямой. Это значит, что пример вершины, в которой нет «излома», отсутствует. Чтобы не сложилось впечатления, что у многоугольника соседние звенья не могут лежать на одной прямой, или, что то же самое, в вершинах многоугольника всегда находятся «изломы», мы рекомендуем построить модель «Карта».
         «Группа туристов отправилась в поход. Вернуться она должна была в то же место, откуда ушла. Чтобы туристы не заблудились, им была выдана карта, на которой отмечены места стоянок и повороты. Как выглядит карта?»

9.  В тексте параграфа «Сумма углов многоугольника» встречаются слова «ответ отрицательный», «даже», «аналогичный». Мы рекомендуем обсудить с учениками значения данных слов.

10.  Вопрос «Сумму углов каких многоугольников можно найти таким способом?» кроме описания класса многоугольников предполагает еще и описание самого способа.
         Способ, с помощью которого удалось найти сумму углов выпуклого четырехугольника, состоит из предметного действия и расчетной части.
         Предметное действие заключается в проведении максимального количества непересекающихся диагоналей, полностью лежащих в многоугольной области. Условие максимального количества диагоналей необходимо для получения треугольников. Условие, что диагонали не пересекаются, нужно для того, чтобы никакие углы многоугольника или их части не считались более одного раза. Расположение диагоналей в многоугольной области гарантирует отсутствие углов, не являющихся внутренними углами многоугольника. Такое содержание предметного действия основано на понимании формулы 180^о(n-2) как произведения количества треугольников на сумму углов каждого треугольника.
         Расчетная часть способа заключается в подсчете треугольников, образовавшихся после проведения диагоналей. Обратим внимание, что пока ученики не знакомы с понятием внутреннего угла многоугольника, расчетная часть не может быть применена там, где сумма углов треугольников при некоторой вершине не равна линейному углу многоугольника при этой вершине.
         Заметим, что существует еще один способ нахождения суммы углов многоугольника. Он основан на понимании формулы 180^о(n-2)=180^on-360^o как разницы между произведением количества треугольников на сумму углов каждого треугольника и величиной полного угла. Его предметное действие заключается в соединении отрезками некоторой точки многоугольной области со всеми вершинами многоугольника. Отрезки должны полностью лежать в многоугольной области, иначе многоугольник не разобьется на треугольники.
         Мы рекомендуем провести учителю исследование с целью выяснения, какой способ лучше использовать на уроке.

11. 

Теорему о сумме углов многоугольника на непростые многоугольники обобщить нельзя. Непростые многоугольники не имеют многоугольной области, и, как следствие, не имеют внутренних углов. Сумма же их линейных углов меньше той, которая должна быть по формуле суммы углов многоугольника. Например, сумма линейных углов непростого четырехугольника меньше 360^о (рис.5.2).
          Определенные соотношения между углами непростого многоугольника существуют. Разобраться в этих соотношениях мы предлагаем как задание для творческой работы.

12.  Начинать изучение четырехугольников мы предлагаем с обсуждения, чем четырехугольники отличаются от других многоугольников, в частности, чем четырехугольники отличаются от треугольников. Найденные отличия лучше выносить на доску. Результатом обсуждения должно стать понимание того, почему из всех многоугольников для более подробного рассмотрения выбран четырехугольник.

13.  Опираясь на опыт учителей из Перми (см. [14, с.36]), мы предлагаем познакомить учеников с классическими четырехугольниками до того, как каждый из них будет исследоваться отдельно. Знакомство можно провести в виде исследования с целью выявления «интересных» четырехугольников.