Нелинейная фильтрация сигналов: Учебное пособие, страница 11

         Слово ²устранять² часто употребляется в литературе, связанной с устойчивыми методами оценивания, для того, чтобы привлечь внимание к их преимуществам. Это слово взято в кавычки по следующим причинам. Устойчивые методы оценивания лишь заметно уменьшают негативное влияние «грубых погрешностей», содержащихся в выборке данных, на конечный результат обработки, но не ликвидируют это влияние полностью. Для анализа этих эффектов служат функции влияния [12]. Отметим, что при фиксированном P₀ наиболее негативное влияние выбросов на статистические характеристики L- и R-оценок обычно наблюдается тогда, когда все или большинство выбросов имеют одинаковый знак. Кроме того, для большинства L- и R-оценок характерна тенденция возрастания степени негативного влияния выбросов по мере увеличения их отличия от истинного значения оцениваемого параметра, хотя, начиная с некоторого момента, при дальнейшем увеличении этого отличия степень негативного влияния выбросов мало изменяется.

Наряду с полезными результатами применение L- и R-оценок может приводить и к некоторым нежелательным эффектам. Так, для распределений, несимметричных относительно среднего, математические ожидания этих оценок могут не совпадать со средним значением. Например, для релеевского распределения математические ожидания  медианы и оценки Вилкоксона отличаются от среднего в меньшую сторону. Аналогичные эффекты наблюдаются и в тех случаях, когда несимметричный вид имеет p(x) (10). Отмеченные особенности не умаляют преимущества устойчивых оценок, но требуют их аккуратного применения на практике.

М-оценкой, или оценкой максимального правдоподобия, называется оценка Т, применяемая к выборке Х₁,Х₂,..., , содержащей N_S элементов, которая определяется как решение экстремальной задачи (поиска минимума) вида  или как решение неявного уравнения , где  – произвольная функция, . Медиане соответствуют функции  и , где sgn() – знаковая функция, равная нулю для нулевого аргумента, 1 для положительного аргумента и –1 для отрицательного.

За счет выбора определенных видов функций  и  можно варьировать свойства М-оценок и, в частности, добиваться их устойчивости к выбросам. Одной из таких оценок является мириада, формальное описание которой имеет вид                        

, где  – настроечный параметр. Отметим, что мириадная оценка является оптимальной (эффективной оценкой) для распределения Коши, часто используемого для моделирования помех и процессов с высокой импульсивностью.

         Свойства мириадной оценки существенно зависят от параметра k. Свойство модальности, т.е. способности мириады определять координату моды (области наибольшей концентрации значений измерений в выборке или максимума ПРВ), которое весьма полезно для случаев несимметричной плотности распределения p(x) (10), наблюдается при относительно малых k. При относительно больших k свойства мириады близки к свойствам оценки среднего выборки. Характерно, что для относительно малых k мириада выборки становится все менее чувствительной к наличию в выборке выбросов при увеличении отличия «грубой погрешности» от истинного значения измеряемого параметра. Таким образом, имеется возможность варьировать в широких пределах свойства мириадной оценки. Однако для надлежащей установки k необходимо априорно знать или предварительно определять масштаб данных. Например, для p_осн(x) в (10) модальный режим работы мириады имеет место при k< 2. Напомним, что и для методов устранения «грубых погрешностей» [15] необходимо априорное знание или предварительное определение среднеквадратического отклонения или дисперсии. Однако при наличии в выборке «грубых погрешностей» обычные (неробастные) методы оценивания СКО дают сильно искаженные результаты. В связи с этим разработаны методы устойчивого оценивания масштаба данных, например:

1)  абсолютное медианное отклонение, которое рассчитывается следующим образом: , где параметр  выбирается с учетом p_осн(x), в частности, для гауссовой p_осн(x) имеем ;