напряжение и ток в момент непосредственно перед коммутацией,
напряжение и ток в момент коммутации,
напряжение и ток непосредственно после коммутации.
Сформулируем законы коммутации:
- ток в индуктивности скачком не изменяется.
-
напряжение на емкости скачком не изменяется.
Начальными условиями называют значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях непосредственно до коммутации. Различают нулевые и ненулевые начальные условия.
ПРИМЕР I. Определить начальные
условия в цепи (рис. 2.2). Напряжение на емкости до коммутации было равно нулю,
поэтому - нулевые начальные условия.
Рис. 2.2
ПРИМЕР 2.
Определить начальные условия (рис. 2.3). До коммутации в
цепи протекал ток по цепи: от "+" источника через ключ, индуктивность
, сопротивление
к "-" источника.
Рис. 2.3
При этом, по закону Ома ток в цепи равен: ,
а напряжение на емкости равно
Вывод: ненулевые начальные условия
2.2. Алгоритм составления и решения дифференциальных уравнений электрических цепей
При анализе переходных процессов классическим методом составляют уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляют по законам Кирхгофа (как правило), при этом используют соотношения между токами и напряжениями для элементов цепи.
;
;
Рассмотрим пример составления дифференциального уравнения цепи, приведенной на рисунке 2.4. Согласно II закону Кирхгофа для любого момента времени в этой цепи имеем
Рис. 2.4
.
Это уравнение необходимо преобразовать так, чтобы в него
входила только одна искомая функция - ток или напряжение: или
.
Подставляя приведенные выше соотношения, получим:
.
Продифференцировав это уравнение по ,
и разделив правую и левую части равенства на
,
получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
.
Можно показать, что порядок дифференциального уравнения одноконтурной цепи определяется числом разнотипных накопительных элементов.
Решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде
,
где - свободная составляющая - общее решение
однородного дифференциального уравнения (без правой части),
- принужденная составляющая, рассчитывается в
установившимся режиме (t=
).
Свободную составляющую обычно
находят в виде суммы экспоненциальных функций:
,
где - порядок
дифференциального уравнения,
- постоянные
интегрирования,
- корни
характеристического уравнения, получаемого из дифференциального уравнения путем
замены
Корни характеристического уравнения для пассивных
электрических цепей могут быть либо отрицательными, либо
комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью. Поэтому при
стремится
к нулю. Следовательно, решение дифференциального уравнения при
стремится к
,
которая может быть найдено, если задана функция
,
характеризующая действие источника энергии. В частных случаях, когда к цепи
подключаются источники постоянного и синусоидального напряжений, составляющую
определяют методами расчета для
установившегося режима.
Отыскание постоянных интегрирования Ак проводят, исходя из начальных условий.
Учитывая вышеизложенное, сформулируем АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДОВ ПРОЦЕССОВ в цепях классическим методом.
1. Для цепи, сформированной в результате коммутации,
составляют дифференциальное уравнение -го
порядка, в которое входит только одна искомая функция тока или напряжения. В
качестве такой функции выбирают ту, которая согласно законам коммутации,
скачком не изменяется.
2. Записывают характеристическое уравнение и определяют его
корни:
3. Определяют начальные условия в цепи: .
4. Определяют принужденную составляющую .
5. Искомую функцию записывают в общем виде как сумму , определяют ее
производные
и
путем решения полученной системы уравнений с учетом начальных условий,
определяют постоянные интегрирования
.
6. Записывают окончательное выражение искомой функции, определяют остальные функции тока или напряжения и строят графики их зависимости от времени.
По этому алгоритму проведем анализ переходных процессов в неразветвленных цепях первого и второго порядка.
2.3. Свободные процессы в цепях первого порядка. Длительность свободных процессов
2.3.1. Свободные процессы в -
цепи
Рис. 2.5
Свободные процессы в -
цепи могут происходить при отсутствии в ней источников и ненулевых начальных
условиях. Качественный анализ процессов в схеме, приведенной на рисунке,
показывает, что до коммутации емкость С
была заряжена до напряжения, равного э.д.с. источника
,
токи во всех участках цепи отсутствовали. После коммутации емкость С разряжается через сопротивление
, напряжение на емкости будет
уменьшаться, а соответственно и на сопротивлении, разрядный ток будет
уменьшаться от величины
до нуля.
Из приведенного выражения видно, что разрядный ток будет тем меньше, чем больше r и наоборот. Длительность переходных процессов будет тем больше, чем больше r, а также чем больше C, т.к. большая емкость содержит больший заряд.
Найдем законы изменения напряжений ,
и ток
путем точного анализа процессов по
сформулированному ранее алгоритму.
1. Составление дифференциального уравнения.
Согласно II закону Кирхгофа для
цепи, сформулированной в результате коммутации, имеем .
В качестве исходной функции выберем
, т.к. в
результате коммутации именно напряжение на емкости скачком не изменяется
,
.
2. Запишем характеристическое уравнение ,
и найдем его корень ,
где
- постоянная времени цепи.
3. Определим начальное условие: - напряжения на емкости до коммутации равно величине э.д.с. источника
.
4. Расчет принужденной составляющей: напряжение на емкости при
уменьшится до нуля
.
5. Запишем искомую функцию в общем виде как сумму
.
с учетом начальных условий, найдем постоянную интегрирования
;
.
6. Окончательное выражение искомой функции имеет вид:
,
или .
Графики ,
приведены на рисунке 2.6. Значение
напряжения на емкости до коммутации равно
,
а ток в цепи отсутствовал, что отражено на графике. На графике видно, что за
время, равное
напряжение на емкости и
разрядный ток уменьшается в
раз, так как
и
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.