Нестационарные процессы в электрических цепях, страница 14

№	СИГНАЛЫ НА ВХОДЕ	СИГНАЛЫ НА ВЫХОДЕ
1
2
3
4

Приведенные в таблице выражения являются следствием свойства линейности электрических цепей.

Связь между переходной G(t) и импульсной H(t) характеристиками выражается следующими двумя выражениями:

Расчет временных характеристик электрических цепей разделяют, как правило, на два этапа:

определение переходной характеристики цепи G(t) классическим методом расчета;

определение импульсной характеристики цепи H(t) путем дифференцирования переходной характеристики.

 Пример: Переходной характеристикой цепи, изображенной на      рисунке 2.52, является аналитическое выражение:

Рис. 2.52

Другой формой записи функции G(t) является:

,

эта форма записи подчеркивает тот факт, что переходная характеристика определена для t > 0. Здесь q(t) функция, определенная, для всех моментов времени.

Действительно, если построить график функции  (рис. 2.53) из которого видно, что при t < 0 имеют место некоторые значения функции q(t), однако, с физической точки зрения, до подачи единичной ступенчатой функции 1(t) в цепи были нулевые начальные условия. Поэтому аналитическое выражение переходной характеристики цепи должно быть следующим:

 

Рис. 2.53

Импульсная характеристика любой электрической цепи может быть рассчитана исходя из соотношения:

Определим импульсную характеристику цепи, изображенной на стр.89

Второе слагаемое данного выражения равно нулю, т.к. в момент существования - функции значение q(t)=0.

2.9.4. Представление произвольных сигналов при помощи типовых воздействий

С помощью одиночных ступенчатых функций(скачков) можно описать широкий класс сигналов.  Например, для описания прямоугольного импульса с амплитудой Е и длительностью  следует применить два скачка (рис. 2.54):

Рис. 2.54

Если сигнал изменяется непрерывно по произвольному закону с разрывом при t=0, то его можно произвольно заменить ступенчатым воздействием, как это представлено на рисунке 2.55.

Если просуммировать все скачки, то получим приближенное равенство:

Рис. 2.55

Представление произвольного сигнала при помощи суммы скачков будет тем точнее, чем меньше отрезок времени .

Разделив и умножив полученное выражение на , и устремив  к нулю, получим:

где - производная сигнала в произвольный момент времени .

Для случая, когда в первоначальный момент времени t=0 скачок отсутствует и значение сигнала равно нулю, аналитическое выражение будет (рис. 2.56):

Рис. 2.56

С помощью - функции также можно представить любые произвольные сигналы. На рисунке показано, что сигнал произвольной формы может быть примерно представлен в виде совокупности прямоугольных импульсов малой длительности (рис. 2.57):

  Рис. 2.57

где - аналитическое выражение короткого прямоугольного импульса с номером k.

Определим предел выражения:

Из этого выражения видно, что очень короткий прямоугольный импульс (элементарный импульс) длительностью  может быть представлен произведением его площади  на - функцию в момент существования этого импульса.

Сигнал произвольной формы может быть представлен бесконечной суммы(интеграла) элементарных импульсов:

2.9.5. Определение реакции цепи на произвольное воздействие по переходной и импульсной характеристикам

В приведенной в п. 2.9.3. таблице, показана связь между сигналами на входе и на выходе цепи, являющаяся следствием свойства линейности электрических цепей.

Действительно, если сигнал на входе цепи:

и на выходе

то для произвольного сигнала

аналогично можно записать

Полученное выражение носит название интеграла Дюамеля. Алгоритм расчета сигнала на выходе цепи при помощи интеграла Дюамеля с переходной характеристикой:

Для заданной цепи определяют переходную характеристику G(t).

Определяют функции,  входящие в состав интеграла Дюамеля:

а) находят  путем замены в формуле G(t)  переменной t на ;

б) находят  путем дифференцирования заданного сигнала  по времени с последующей заменой переменной t на .

Подставляют полученные выражения в формулу интеграла Дюамеля, интегрируют по переменной  и при необходимости подставляют пределы интегрирования.

Показано, что если входной сигнал может быть представлен в виде бесконечной суммы(интеграла) скачков, то сигнал на выходе может быть представлен в виде бесконечной суммы(интеграла) откликов на эти скачки.

Путем аналогичных рассуждений можно показать, что если входной сигнал может быть представлен в виде бесконечной суммы (интеграла) элементарных импульсов:

то сигнал на выходе цепи, импульсная характеристика которой  также может быть представлен в виде бесконечной суммы (интеграла) откликов на эти элементарные импульсы:

Алгоритм расчета сигнала на выходе цепи при помощи интегра­ла Дюамеля с импульсной характеристикой.

  1. Для заданной цепи определяют импульсную характеристику .

2. Определяют величины входящие в интеграл Дюамеля:

а) заменяя в выражении для  переменную  на  получают ;

б) заменяя в выражении  переменную  на   получают .

  3. Подставляют  полученные  выражения  в  формулу  интеграла  Дюамеля, интегрируют по переменной  и, при необходимости, подставляют пределы.

2.9.6. Другие способы представления произвольных сигналов

Имеется целый ряд элементарных функций, кроме  и  при помощи которых можно аналитически описать любое произвольное воздействие.

·  Применение функций вида  - теорема Котельникова.

Если имеется некоторый сигнал  который не претерпевает скачков или других резких изменений на интервале времени , то такой сигнал может быть представлен в виде разложения в ряд:

,

где  - значение функции  в равностоящие моменты времени:

 - интервал дискретизации;

 - элементарные функции вида , сдвинутые между собой на время

.