Промышленность \ Добыча, хранение и транспортировка нефти и газа

Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 73

\x(t + 1) = &x(f) — 4Gx(f) +Tw@_     .......                                                                                                                                           (IV.88)

\e(t + 1) = (I — kH)<&e{t) + (I — kH)Tw(t) — kv{t + 1),

где e(t)=x(t)—x(t)—вектор ошибки фильтрации. 138


Поскольку нас будут интересовать лишь стационарные оп­
тимальные системы управления запасами, т. е. такие системы,
для которых оптимальное управление при N-+oo определяется
законом с постоянными параметрами G и К, то выпишем соот­
ношения для этого случая. „Очевидно, их можно; получить как
частные случаи (IV.83).                             .

C(f) = WW(t.+ l)+Rl*$'W(t+l)Ot.                                                                                        (IV.89)

K(ty-M(t)H' (HMtH't+V):.                                                                                       (IV.90)

Причем Wt и Mt определяются рекуррентными матричными уравнениями:

(IV.91)


М (t + 1) = ФМ (t) Ф' —ФАГ (О Н' (ИМ (t) В' + V)ИМ(/)Ф' + Tcov{w, w'}.


(IV.92)


Заметим, что первое уравнение решается* в обратном вре­мени, а второе — в прямом. Можно показать, что существует стационарное решение (IV.91) в случае положительной опре­деленности матрицы, если система (IV.47) является полностью управляемой или стабилизируемой. Поэтому необходимо прове­рить управляемость или стабилизируемость системы (IV.47). Выявить эти условия позволяют следующие- две теоремы, рас­смотренные в приложении.

Теоремы 1 и 2, доказанные в приложении, определяют усло­вия существования стационарной оптимальной системы управ­ления запасами. Для применения на практике полученных со­отношений теперь лишь остается вывести формулы для опре­деления основных параметров, входящих в уравнения.

Для определения дисперсий запасов cr| { и управлений (по­ставок) el-, входящих в критерий оптимизации, выведем со­отношения для ковариационных матриц -£)'(**), ■/)(**>«>. Для этого перепишем сокращенно систему (IV.88) в виде .

(IV.91)

где


А.

А

fit


ф_

О    ;(/ —~КН)Ф

Г     Г Q

(У—ЩТТ—


(IV.92)

(IV.93)

(IV.94) Ш


Введем обозначение для ковариационной матрицы вектора состояний замкнутой системы D <РР) :

D\xx) I D(t

 = м ш =

(IV.95)

Вычислив рЖ1 Р'н-i по (IV.91) и взяв математическое ожи­дание, получим следующее рекуррентное уравнение для Z)JPP>:

D^^AD^A'^ A cov{yyf}Af.                                                                                        (IV.96)

Учитывая, что % является оптимальной матрицей фильтра, можем записать'

M\xtQ=M{{lt + ?t)}l't=M{lJi't}.                                                                                       (IV.97)

Соотношение (IV.97) позволяет упростить (IV.96) и при­
вести его к виду                                          •

 — W Щхх) — D\ee)) (Ф —

 Р:                                                                                                         (IV.98)

,   Здесь матрица Z)jee) определяется уравнениями оптимально­го фильтра Калмана—Бьюси:

D\ee) = (]—КН) М,

 = М \р) = М {(xt - tt) (xt - lt)f) =

= M MlЧ- М {Щ — 2М \х£).-

Из условия оптимального фильтра (IV.97) можно записать

Имея в виду, что оптимальное управление щ=—Gxt, кова­риационную матрицу Z)J""> запишем в виде

D\uu) = GD(xh Gf = G (D\xx) —D\ee)) Gf.                                                                                       (IV.99)

Таким образом, мы получили формулы для расчета всех ковариационных матриц, входящих в уравнения оптимизации.

Покажем теперь на примере системы управления резервуар-
ными конденсатосборными парками ГПУ-2 объединения Ку-
баньгазпром эффективность разработанных алгоритмов. Рас­
считанные параметры модели имеют следующие характери­
стики:                                                                 '

140


10 0 1 О 0 10 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0,627 0 0 0 0    0   0,535



Скачать файл