Промышленность \ Добыча, хранение и транспортировка нефти и газа

Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 110

Тогда имеет место противоположное утверждение: для лю­бого х^[0, L] решение уравнения:


дГ

dt

дх

а----- 1 /

дх  у

является невозрастающей функцией по t, что соответствует вы­полнению соотношения

р{х, t')>p(x, П                                                                                        (VII. 12)

при Г<Г, jc6[O, L].'

Поскольку доказательства этих теорем идентичны, то до­кажем лишь одну из них.

Доказательство теоремы 1. Заменим переменные:


Тогда уравнение (VII.4) относительно z принимает вид дг       ,    >        ч &г

(VII.13)

 +f(x, U г, zx),

где

§ =

/==


дх д


 дг


J



212


дх


Поскольку из условий эксплуатации газопровода

д<е<о, -£.<<>.

дх                дх

то f(x, t, z, zx)^0.

Легко доказать, что граничным условиям (VII.10) для урав­нения (VII. 13) относительно z будут соответствовать следую­щие эквивалентные граничные условия:

2(0, 0=                      (((    ]

 (VIU4)

дх ^    дх       '2 v '       дх

Выберем два решения уравнения (VII.13) относительно z при следующих граничных условиях (VII. 14): 1) Zi(x, t) соответст­вует f(x, t, z, zx)^0; 2) z%(x, t) соответствует f(x, t, z, 2»)s0. Тогда, согласно теореме Редхеффера, имеем Zi{x, t)^z2(x, f). Учтем    условия   согласования    на   границах;   ^ (0) =/г(0);

Из ограничений, накладываемых на функции fi(t) и fz(t)t следует, что

/i (О-Ф(О) > 0;  ft{t)B-M- < 0 при У>0.

Рассмотрим решение уравнения (VII. 13) при нулевых гра­ничных условиях z{x, 0)=0; Д(^) =0* /2(0==0» а также при f(x,t,z,zx)=O.

Тогда, в силу единственности решения ,^VI 1,13), очевидным решением будет z(x, ^)*^0„ откуда, в силу'теоремы Редхеффе­ра, имеем z2(x, /)^0, а следовательно, г±(х, t)^0.

Для всех Х(={[0, L][0, Т]}. Поэтому р(х,-"/)><р(*). Поло­жим р(лг, f) =г|)(д;) =^(^, 0). Рассмотрим решение (VII.13) при следующих граничных условиях:

шо-у-т

Очевидно, /fW^ftW. h{t)^f%{t)> 4>(x)><p(x). Отсюда по теореме Редхеффера имеем y(x,t)^p(x, t). Но в силу су­ществования и единственности (VII. 13) получим

y(x,t)=*p(x,t' + t).

, Следовательно, р(дс, ^+//)^/?(^»- 0- Но так как V выбрано совершенно произвольно, можно заключить, что р(х, f)^. ^(, t") для всех х^[0, L],   поскольку  при   t'^t";;t', t"^

213


, °°]. что и требовалось доказать. Теорема 2 доказывается аналогично.

Эти две теоремы позволяют доказать третью теорему, даю­щую аналитические оценки решения уравнения (VII.4) при различных граничных условиях.

Теорема 3. Пусть р{х, t) —суть решения уравнения (VII.4) при граничных условиях (VII. 10). Тогда всегда можно подо­брать верхнюю и нижнюю границы оценок решения р{х, t) такие, что выполняется условие


х, f)<p(x,


, t)


(VII. 15)


для всех л;<=[0, L], /е[0, оо].

Доказательство. Пусть р(х, х) суть решения уравнения (VII.4) при граничных условиях (VII.10)   для моментов t=x.

Сравним решение р(х, т} с решением р(х, т), полученным при начальном условии р(х, 0)=а(х) с граничными условиями



p(O,x)=f\


(x, т) дх


При этом мы считаем, что

max/

а (0) при т — 0

/ max /х (т), а (0)) при т > 0;

 I   d*a(x)


minj min /2(т);

Нетрудно видеть, что на отрезке 0<т< t,


да? (х)


X=L


при т > 0.


Следовательно, по теореме Редхеффера р(х, т)^.р(х, х) при те[0, /]. Кроме того, ff (т) —неубывающая, а /° (т) — не-возрастающая функции, и по заданному условию

дх

причем р(х, t), p(x, t) задаются следующими аналитическими выражениями:


р{х, t) =

р {х, t) = Yy\ (t) + Ву\ (t) x j


(VII. 16)


214


где:

уг (t) = max { max fx (т), а (0)};

r£[0t]

 (x)

В     дх   \х=

 дх

Функции а (л;), $(х) определяются как верхняя и нижняя грани для ф(дг):


Скачать файл