Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 33

Далее расчет проводился с использованием двух наиболее информативных признаков — Ci/C₅H-b и Cs+b. Как видно из табл. III.7, при выборке 10 месторождений каждого класса этот метод дает 100%-ную сходимость.

Метод главных компонент

Главные компоненты — это линейные комбинации исходных из­мерений, дисперсии которых обладают особыми свойствами [23]. Пусть имеем совокупность реализации двух образов А и В. Общую дисперсию о²_об можно представить в виде суммы двух

составляющих — дисперсии центров тяжестей образов относи­тельно общего центра тяжести о_А и  усредненной  собственной

дисперсии образа ol_o6A. Чем больше дисперсии центров тяжести образов а_л и а|, тем лучше в среднем разделимость образов, и

чем больше усредненная собственная дисперсия, тем хуже раз­делимость образов. Каждую из указанных дисперсий можно вычислить, зная всю совокупность признаков, характеризующих данный образ.

Задача классификации образов заключается в максимизации дисперсии центров тяжести или минимизации усредненной соб­ственной дисперсии. Для нахождения линейных комбинаций величин, обладающих максимальными дисперсиями, применяет­ся метод главных компонент. Главные компоненты являются характеристическими векторами ковариационной матрицы, а ее характеристические корни — дисперсиями главных   компонент.

.64

Сумма дисперсий главных компонент равна сумме дисперсий исходных величин. Таким образом, задача анализа с помощью главных компонент состоит в оценке характеристических векто­ров |3 и характеристических корней Я ковариационной матрицы.

Геометрически нахождение вектора главных компонент сво­дится к переходу к новой ортогональной системе координат, об­ладающей характерными свойствами, а именно: соответствующее новое положение осей координат последовательно определяет максимальную дисперсию исходных параметров при постоянстве суммы дисперсий 2Хг~^о²._об .

Так как признаки, характеризующие выбранные месторожде­ния, имеют различные размерности, то необходимо пронормиро­вать исходные данные. Нормировка проводилась   по   формуле

_v          №Xi — (^хтах —
X_tB= —------- —

^       i~ -"-mill

где x_ia— нормированное значение признака; Xi — текущее значение того же признака; Хт&х, #тш — соответственно макси­мальное и минимальное значения признака совместно для клас­сов А и В.

Расчет по методу главных компонент был проведен по 59 месторождениям (см. табл. III.I, III.2) с использованием восьми признаков (без содержания N2).

На основе этих данных строим ковариационную матрицу S, диагональные элементы которой являются дисперсиями, т. е. суммой квадратов отклонений от средних значений, внедиаго-нальные — ковариациями, т. е. суммой взаимных произведений отклонений от среднего, деленных на (N—1), где ./V — число месторождений. След ковариационной матрицы, равный сумме

дисперсий исходных величин, составляет 2а* об =1,817.

1

Для нахождения нормированной линейной комбинации, име­ющей максимальную дисперсию, используем метод определения собственных значений или корней, а также метод собственных векторов матрицы, изложенный в [46].