Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 103

Движение по градиенту зависит от интервала варьирования независимых переменных. Изменение в р раз интервала варьи­рования какой-либо переменной приводит к изменению в р2 раз шага по этой переменной. Неизменными остаются знаки со­ставляющих градиента.

Коэффициенты уравнения регрессии (VI. 14а) bu b2 являют­ся частными производными. Следовательно, изменяя факторы пропорционально величинам и знакам коэффициентов регрес­сии, можно осуществить движение в направлении градиента функции отклика по самому крутому пути.

Поясним методику движения по градиенту на примере одно­мерного поиска нахождения оптимума поверхности отклика, т. е. рассмотрим вначале случай линейной зависимости у (пара­метра оптимизации) от одной переменной х2. Предположим, что на количество выпадающего конденсата у влияет только давле­ние х2. Тогда результаты эксперимента можно представить ли­нейным уравнением регрессии

y = bo + b1x,.                                                                                        (VI.23)

Крутое восхождение представляют в натуральных перемен­ных.

Значение коэффициента регрессии равно тангенсу угла меж­ду линией регрессии и осью данного фактора, т. е. b\= tga.

Если умножить Ь\ на шаг варьирования, т. е. Ь\, /, то полу­чается катет А В, который и дает координаты точки А, располо­женной в направлении градиента.

В многофакторной задаче координаты точек в направлении градиента рассчитываютсяг аналогично по каждому фактору.

Движение по градиенту рассчитывают последовательным прибавлением к основному уровню факторов величин, пропор­циональных составляющим градиента — произведениям bJi. Шаги обычно округляют. Каждый эксперимент дает нам воз­можность определить расстояние до поверхности отклика над новой точкой в этой области.

198


По поверхности отклика надо подняться как можно выше, используя накапливающуюся информацию для определения направления поиска. Поэтому логично каждый следующий экс­перимент размещать в том направлении, где значение отклика будет возрастать.

В точке В отклик больше, чем в точке Л, в точке С больше, чем в точке В, следовательно, мы идем в направлении оптиму­ма, так как в каждой последующей точке отклик больше, чем в предыдущей. В точке D отклик стал меньше, чем в точке С, сле­довательно, значение отклика у должно проходить через одти-мум где-то между С и D.

Таким образом, рассматривая уравнение (VI.23), можно ска­зать, что при поиске оптимума увеличение коэффициентов Ьо и Ъ\ указывает на правильное направление поиска. Перемена зла­ков коэффициента Ьх говорит о том, что оптимум пройден.

В крутом восхождении можно выделить следующие этапы.

1: Выбор основного уровня факторов и интервалов их варь­ирования. При выборе интервала варьирования факторов надо иметь в виду то, что небольшие интервалы варьирования приво­дят к неоправданным затратам — путь к оптимуму окажется долгим. Большие интервалы могут, с одной стороны, привести к «проскоку» экстремума, а с другой стороны, большой участок поверхности отклика не всегда удается аппроксимировать плос­костью! Интервал варьирования сверху ограничен областью оп­ределения фактора, а снизу— требованием раздельного оп­ределения верхнего и нижнего уровней. Обычно за основной уро­вень принимают значения, при которых был получен наилуч­ший отклик.

В нашем случае в качестве основного уровня приняли точку с координатами 10« 18 м3/сут, 35 кгс/см3, т. е. с этого опыта следует-начинать реализацию процесса крутбго восхождения по поверхности отклика.

Затем,' выбрав шаги варьирования для расхода /i=2-*> 10е м3/сут, а для давления /2=7,5 кгс/ём2 и округлив произве­дения J\bi и 102, получим J\b\ =2,0' 106; /2^2= 1.5.

Движение по градиенту рассчитываем последовательным прибавлением к основному уровню факторов величин, пропор­циональных произведениям 7*6*, т. е. составляем последователь­ность рассчитанных «мысленных» опытов.

Расчет и результаты движения по градиенту приведены в табл. VI.М.