Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 71

Vk(k) = тт\М [(x'k+iQk+iXk+i + u'kRkuk)fzk] -f-  •

+     minAf     |(   V x'tQtxt+ Ut-iRt~iut-iW, wj].  (IV.55)

Uk+V ■ ■ ■ >uN-l L\ t^+2                              )                                                                     JJ

Используя (IV.52), легко (IV.55) преобразовать к виду Ml    гшпЛГ       Г  V xtQtxt-\-Ut-iRt-iUt-i/zk,uk) 1 =

= М \VN (k + 1 )/zK «ft},                                                                                       (IV.56)

VN (k) ± min M {(4+1^+1^+1 -f ulRkuk + ^лг (^ + *)/**» «J.

(IV.57)

Полученное соотношение (IV.57) и является рекуррентным функциональным уравнением динамического программирова­ния, которое будет использовано нами для синтеза оптималь­ной системы управления запасами.

Рассмотрим синтез оптимального управления на последнем (N—-\)-мшаге,   для   которого,   функциональное   уравнение примет вид

 = min M {x'NQNx?N + u'n-iRn^Un-xIz^1}.      (IV.58)

«ЛГ-1

Выразим xN через Un-u используя уравнение состояния:

^ = Фл^-1^лг-1 + t^v-i«^-i + Гаг—iOB»iv—i -                                                                                        (IV. 59)

Подставляя (IV.59) в (IV.58), получим

 l)=       min       M

 $                            X

'\+2wN-lTN.-lQN$N-.iUN-l]lzN-l\.                                                                                                                                                     (IV.60)

Учитывая статистическую независимость xN-i, Wn-u а так­же то, что M{WN-i} = 0, получим

М [ZXN-l&N-liiN-lTN-lWi-l] = 0.

В свою очередь, требование физической реализуемости в случае нерандомизированной стратегии означает, что является детерминированной функцией вида (IV.51).

134


3 силу статистической независимости w% и г* для всех />7, j—i, 2, ..., N—1 следует, что

M{2W'N^rN^QN%~iUN^\^0.^                                                                                       (IV.62)

Кроме того, из соотношения (IV,52) следует М {

u

/-/   ~     -                            \         л/—»                                           (IV.оо)

Л* \uN-i (^-iQat-i^-i + /?лг)      /      }

Обозначим условное математическое ожидание вектора со-стояния х:

xN^ = М {хх-г/г"'1}.                                                                                       (IV.64)

Тогда (IV.60) можно переписать в виде VN (N 1) = rriin

 ^^                                      ..,...,.                                           (IV.65)

Так как выражение, стоящее в первой квадратной скобке, не зависит от uN-u то цолучим следующее уравнение для вы­числения оптимального управления:

VN (N — 1) = min {им №n-iQn4>n-i + Rn-i) uN-i

uN-l

 '    ,     ;•..■■ \-                                             (IV.66)

c-ткуда необходимое условие экстремума. легко получить, ис­пользуя правила векторного дифференцирования:

-l&N-lQN-ltyN-l ='0         (IV.67)

или сокращение:

Aftv-i = 6,                           ■                                            (IV.68)

гдеr- -         V■'■■    .   ■< ■   ■■..

A = ^>n-iQn^>n-i -\-Rn-i-                                                                  •'-■■■"

Таким образом, для нахождения оптимального управления Un-i требуется обращение матрицы А. Так кар матрица Л яв­ляется вырожденной (следует из наличия запаздываний в си­стеме), обычное обращен»© невозможно, поэтому будем исполь­зовать псевдообращение по Муру—Пенроузу.

135


■ ■ Приведя псевдообращенйе матрицы А, найдем вектор ойти-мального управления

 i,        (IV.69)

где #—-операция псевдообращения матриц.

Перейдем теперь к вычислению оптимального управления на (N—2)-м шаге:

Vn(N — 2) = min M {(xn'-iOn-iXh-x + u'N-2Rn-2Un-2) -f

' '•   '                                                                                                                                                                                                  UN~2    '■-■■ • ■ ■■    -                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    ■       ■    '   ;■-