Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 113

Рассмотрим частный случай, когда при £=0 режим стацио­нарный, тогда

 (х, t)

дх

= Q_Q = const

(VII.27)

Используя (VII.23) и (VII.27), легко получить

где

dt       BQ₀ Заменив переменные, получим

J!L = cp dt       ^н

(VII.28)

Найдем решение (VII.33) при нулевом начальном условии

и граничных условиях (VII.25), (VII.26).

Рассмотрим вначале однородные граничные условия gi=fu g_z=f₂, а затем, заменив переменные и(х, t)=v(x, t)-\-z(x, t), найдем решение в общем случае. Для решения воспользуемся методом Фурье. Считаем, что v(x, t) —решение при однород-

220

ных граничных условиях, z(x, t)—дважды непрерывно диф­ференцируемая по д; и непрерывно дифференцируемая по t в {(О, L) (О, Г)} произвольная функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям.

Тогда, согласно [19], решение можно записать в виде

и (х, t) =

р(х)

t L

z(x_% 0+ \\D(x, g, t — т)Х

X

где D (х, |, t—т) — функция Грина,

{x,l, t-r) =

CPU)

~Я.„(/-т) Уп(х)У_п(Ъ)

Здесь Я_п, f/n — соответственно  собственные числа и собствен­ные функции краевой задачи Штурма—Лиувилля:

со следующими краевыми условиями: 1) краевая задача I:

2)краевая задача II:

о'""  '       ~dx

3)  смешанная краевая задача:

У(О) = О;

= 0.

Функцию z(x, t) можно легко построить для различных гра­ничных условий.

Так, для краевой задачи I

г (х, t) = p_oPl (t) + j- [p₂ (t) _A (0 - _Pl (t) _Po];

для смешанной краевой задачи

г (x,t) = BQ₀1* [-£- (p₂ (0 - _Pl (t)) + Pi № }

и, наконец, для условий стационарного режима г (*, t) == p_opi (/) + BQ_opz (t) x,

221

где

?i(t) = fi(t)-_i

ft С) = /,(*)-& С).

Найдем для всех перечисленных граничных условий собст­венные значения и асимптотические разложения собственных функций у_п. Для первой краевой задачи имеем

л    _  Л²Л²

где

В случае краевой задачи II:

Сложнее обстоит дело в случае смешанной краевой зада­чи. В этом случае сделам следующие подстановки:

о =

l

ср (х)

У-

Тогда, сделав эти подстановки в уравнение Штурма—Лиувиллш

У>

 ср (х)

da

a==0

a

da

a—

222

Откуда собственные функции определятся в виде

_ёп{о) = cos-f а

_sin ™

 0 (±

 2

где fif — константа.

Возвращаясь к исходным переменным, запишем:

Уп (*) = c^UP^U

d —

Полученные аналитические решения для линеаризованного уравнения можно сравнить с оценками решения исходной нели­нейной системы уравнений (VII.4).

В работе [20] для практических условий эксплуатации га­зопровода при sgnpi = sgnp₂ получена общая оценка погреш­ности линеаризации в виде

(х, t)

У Pi + В [Q_o + Р₂ (**)]² х - /р\ + BQ\x __

BQ₀p₂ (/*) х

 +

 BQlx-

У

(VII.29)

223