Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 109

транспорта, это достаточно убедительно   обосновано   в работе [47].

Таким образом, при решении задач, рассматриваемых в дан­ной работе, гиперболическую систему (VII.2) можно упростить и свести к параболической системе вида

др   ,  Xpw²_п

 _{+ с}
dt        дх

В некоторых случаях систему (VI 1.3) бывает удобно свести к одному уравнению вида

dp          .     dp ^и= a sign- ^и

dt            ^e. дх   дх

где

а =

а*

(VII.4)

на границе и в гиперплоскости /=0, то

и < v                                                                                        (VII.9)

в области {[О, L][0, T]}, где  с — пространство непрерывных функций; (...) означают только граничные точки отрезка; [...| означают внутренние точки отрезка.

Проведя несложное преобразование (VII.4), получим

dt

= а

Так как из условий эксплуатации газопровода всегда а>0,

Р>0, 1/ \-jfc I >0, то, очевидно, первое условие теоремы Ред-

хеффера выполняется.

Для проверки выполнения второго условия теоремы Ред-хеффера следует задаться формой граничных условий. Не ограничивая общности, рассмотрим смешанную краевую задачу

р (х, 0) = ф |

Р(О, 0 = /iw                                                                                       (VII. 10)

где fi(t), /2(0—некоторые заданные функции; В— константа. Объединив (VII. 10), нетрудно получить

k_t(x, t, и, и_х) = 0;

k₂(x, t, и, и_х)^р(х, t)— i/ —-,

дх

, t)

Из выражения k₂(x, t, и, и_х) видим, что оно является мо­нотонно неубывающим по др/дх. Следовательно, второе усло­вие теоремы Редхеффера выполняется, а поэтому теорема Ред-хеффера полностью справедлива для уравнения (VII.4), опи­сывающего транспорт газа. Теперь отыщем достаточно хорошие оценки решения уравнения (VII.4) при различных граничных условиях. Для решения этой задачи сформулируем и докажем ряд теорем.

Теорема 1. Пусть при выполнении условий (VII.10) функции fi{t), /г(0» ^<Р(^ЛГ) выбраны следующим образом: Д(/)—неубы­вающая; f₂(t)—невозрастающая; *е[0„ оо]; ф(л:)^0 удов­летворяет следующему соотношению:

и

*■

211

Тогда для любого xe[0,-L]. решение уравнения

д_Рд, Г а* га* у

р{х, t')^p(x, t") при *'< Г, л: 6 [О, Ц.

Теорема 2. Видоизменим несколько условия теоремы 1.
Пусть fi(tf)—невозрастающая функция,  a f$(t)—неубываю­
щая; te[0, оо]- ф(л:)^О удовлетворяет  следующему соотно­
шению:

дх

 В

дх