Рассеяние Мандельштама-Бриллюэна. Дифракция в кристаллах. Поляризационные эффекты. Элементы статистической термодинамики. Излучение фотонов и эмиссия электронов, страница 22

При x = a; y(a) = A sin ka = 0; ka = 0; ka = ± np; p = k = ± np/a.

Энергия частицы

                                              (16.1)

Потенциальная энергия электрона в атоме водорода (рис.16.1)

                                               (16.2)

Рис. 16.1

Решение уравнения Шредингера для основного состояния электрона в атоме, водорода имеет вид

 r₁ = 0.529 .                                   (16.3)

Энергия электрона в атоме водорода квантована

E_n = – 13.6 эВ / n²,                                                 (16.4)

где n = 1,2,3,…

Заменим потенциальную функцию (16.2) одномерной прямоугольной потенциальной ямой шириной а и высотой U. При сближении двух атомов водорода (рис. 16.2,а) потенциальный барьер между ямами уменьшается и при расстоянии между ядрами атомов, равном а, потенциальный барьер исчезает (рис.16.2,б). При соединении симметричных волновых функций появляется состояние y₁, а при соединении симметричной и антисимметричной волновых функций – состояние y₂ . При энергии электрона Е << U₀ можно применить выражение (16.1) для оценки уровней энергии электрона. Для состояния с n = 1, Е₁ = Е₀/4. Для состояния n = 2 Е₂ << E₀. Уровень энергии Е₀ , соответствующий одиночной яме, расщепляется на два уровня. В промежуточных случаях при ширине барьера Z, соизмеримой с шириной ямы а, расщепление уровня E₀ обусловлено туннельным эффектом – проникновением электрона сквозь барьер (см. § 15.3).

Электроны переходят на уровень энергии E₁ << E₀/4. В силу принципа Паули спины электронов противоположны. Вероятность нахождения электронов максимальна в центре ямы. В области между ядрами атомов сконцентрировано заряда больше и ядра притягиваются к отрицательному заряду. Связь между атомами, создаваемая двумя электронами, называется ковалентной.

Предоставим читателю самостоятельно рассмотреть последовательные стадии соединения ("сшивания") волновых функций электрона в атоме водорода (16.3). Вероятность нахождения электронов в слое dr для этого случая характеризуется функцией

                                                (16.5)

Перекрытие волновых функций электронов приводит к расщеплению уровней энергии, повышению объемной плотности отрицательного заряда между атомами (рис. 16.3,а) и образованию направленной ковалентной связи между атомами водорода (рис. 16.3,б).

Расщепление уровней энергии при сближении атомов аналогично расщеплению собственных частот двух связанных маятников и контуров, рассмотренных в § 8.4.

Рис. 16.2

В линейной атомной цепочке в случае сильной связи электрона с атомами уровни энергии атомов расщепляются на подуровни, число которых равно числу атомов в цепочке n (рис.16.4). Так образуются разрешенные энергетические зоны, разделенные запрещенными зонами.

Рис. 16.3                                                                          Рис. 16.4

При образовании кристаллов полупроводников, например кремния и германия, волновые функции валентных электронов перекрываются и образуется число состояний, равное числу валентных электронов в кристалле. Соответствующее число энергетических уровней оказывается полностью заполнено валентными электронами при Т = 0 К. Такая зона называется валентной (рис.16.5).

Заметим, что одному уровню энергии соответствует два состояния, которые могут быть заняты не более чем двумя электронами с противоположными спинами.

Пример ковалентной связи между атомами кристалла кремния, являющегося элементом 4-й группы, приведен на рис.16.6. Каждый из четырех валентных электронов атома участвует в ковалентной связи.

Минимальная энергия, необходимая для разрыва ковалентной связи и перехода электрона из связанного в свободное состояние, называется шириной запрещенной зоны DE_g. Потенциальная энергия электрона возрастает на Аи , и электрон под действием внешнего электрического поля может свободно перемещаться в кристалле. Такой электрон находится в зоне проводимости или в свободной зоне.