ГЛАВА 15
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ
§ 15.1. Волны де Бройля, соотношения неопределенностей Гейзенберга
1.
В квантовой механике движущейся частице соответствует волна. Волновая функция
должна быть непрерывной, однозначной и конечной, чтобы определять вероятность
нахождения частицы в зависимости от координат, энергии и импульса этой
частицы. Согласно идее де Бройля пси-функция частицы с энергией Е = и импульсом
. (15.1)
Каждой динамической переменной в квантовой механике соответствует линейный самосопряженный оператор Q, который, действуя на пси-функцию, позволяет найти собственные значения оператора (значения динамической переменной д)
. (15.2)
Гейзенберг показал, что если операторы двух канонически сопряженных физических величин не коммутируют
, то
среднеквадратичные отклонения этих физических величин
(15.3)
Покажем,
что коммутатор операторов координаты и
импульса
не равен нулю.
Оператор
, оператор импульса
. Рассмотрим действие
этих операторов на пси-функции.
(15.4)
(15.5)
Коммутатор
операторов и
(15.6)
Аналогично запишем
(15.7)
Соотношения (15.6) и (15.7) называются перестановочными соотношениями Гейзенберга. Среднеквадратичные отклонения координат и импульсов образуют соотношение неопределенностей Гейзенберга
(15.8)
или
2.
Применяя соотношение неопределенностей, оценим минимальную возможную энергию
атома в твердом теле. Атом, совершая колебания под действием квазиупругой силы F
= – kx, отклоняется от положения равновесия. Координата атома изменяется
в пределах ±х, а импульс ±px . Полагая и
, из (15.8) имеем
Энергия атома (гармонического осциллятора)
(15.9)
(15.10)
Заменив р2 из (15.9), исследуем (15.10) на экстремум
. (15.11)
Подставим (15.11) в (15.9) и (15.10):
(15.12)
где wO – собственная частота гармонического осциллятора.
При температуре T = 0 К энергия твердого тела равна сумме минимальных энергий атомов.
§ 15.2. Влияние магнитного поля на энергетический
спектр свободных электронов твердого тела
1.
При помещении полупроводника или металла в магнитное поле свободные электроны
под действием поля
вращаются
по часовой стрелке вокруг оси Z, параллельной полю
. Одна половина
свободных электронов движется вдоль поля, а другая против поля по спиралям.
Покажем, что проекция орбитального момента импульса электрона Lx на ось Z квантована. Запишем уравнение для Lz:
(15.13)
где
оператор .
Ищем решение в виде
. (15.14)
Применим условие цикличности к пси-функции
. (15.15)
Отсюда
Проекция момента импульса электрона на ось Z квантована
(15.16)
Энергия электрона в магнитном поле
(15.17)
где
pz и p^
– проекции импульса на ось Z
и на плоскость, перпендикулярную оси Z;
– орбитальный
магнитный момент, направленный противоположно полю
,
где r – радиус орбиты; m* – эффективная масса электрона в твердом теле; w – циклотронная частота вращения электрона.
Сила Лоренца euB^ является центростремительной силой m*wu^ , поэтому w=eB/m*.
Преобразуем (15.17),
(15.18)
заменяя
p^=m*wrи rp^=Lz:
С учетом (15.16) энергия электрона
(15.19)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.