Сведения из теории множеств. Операции над множествами. Теоретическая справка. Классические критерии принятия решения, страница 8

Изложенные выше положения справедливы как для возрастающих, так и для убывающих функций полезности.

При возрастающих функциях полезности, принимающий решение тогда и только тогда не склонен к риску, когда его детерминированный эквивалент для любой невырожденной лотереи меньше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

Для возрастающих функций полезности надбавкой за риск (HP) к лотерее x называется разность между ее ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом:

.

При убывающих функциях полезности, принимающий решение тогда и только тогда не склонен к риску, когда его детерминированный эквивалент для любой невырожденной лотереи больше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

Для убывающих функций полезности надбавкой за риск (HP) к лотерее x называется разность между детерминированным эквивалентом и ожидаемым выигрышем:

.

И при возрастающих, и при убывающих функциях полезности принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск для него положительна для всех невырожденных лотерей.

При возрастающих функциях полезности, принимающий решение тогда и только тогда склонен к риску, когда его детерминированный эквивалент для любой невырожденной лотереи больше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

При убывающих функциях полезности, принимающий решение тогда и только тогда не склонен к риску, когда его детерминированный эквивалент для любой невырожденной лотереи меньше, чем ожидаемый выигрыш в этой лотерее.

И при возрастающих, и при убывающих функциях полезности принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск для него отрицательна для всех невырожденных лотерей.

Когда определены три типа свойства отношения к риску, обратим внимание на измерение этого свойства в каждом конкретном случае. Рассмотрим лотерею <x+h,x-h>, h - установленное количество по критерию X, полезность которой описывается функцией u(x). В связи с графической интерпретацией, можно заметить, что некоторую информацию несет вторая производная функции полезности u’’, точнее, его знак. Если u’’<0 для всех x, то u должна быть вогнутой (выпуклой вверх) и, следовательно, связана с несклонностью к риску. Если u’’>0 для всех x, то u выпукла (выпукла вниз) и отсюда следует, что принимающий решение склонен к риску.

Представляется желательным, чтобы мера отношения к риску 1) указывала вид отношения к риску, который отражает функция полезности (это делается с помощью u’’) и 2) была одинаковой для стратегически эквивалентных функций полезности.

Для возрастающих функций полезности отношение к риску в точке x определяется с помощью функции отношения к риску

.

С вычислительной точки зрения полезно заметить, что

.

Для убывающих функций полезности отношение к риску в точке x определяется с помощью функции отношения к риску

.

С вычислительной точки зрения полезно заметить, что

.

И при возрастающих, и при убывающих функциях полезности если r>0 при всех x, то u вогнута (выпукла вверх) и принимающий решение не склонен к риску. Если же r<0 при всех x, то u выпукла (выпукла вниз) и принимающий решение склонен к риску.

Если  для всех x, то  для всех x,h. Иными словами, если для u₁ локальная несклонность к риску всюду больше, чем для u₂, то надбавка за риск к любой лотерее больше при u₁, чем при u₂. Это означает, что повсеместное выполнение локального условия влечет за собой естественное глобальное следствие.

Если  для всех x, то  для всех x,h если  для всех x, то  для всех x,h.

Принимающий решение обладает убывающей несклонностью к риску, если: 1) он не склонен к риску и 2) надбавка за риск  в любой лотерее для него уменьшается при увеличении опорной суммы x.

Функция отношения к риску r для функции полезности u является убывающей тогда и только тогда, когда надбавка за риск  - убывающая по x для всех h.

Принимающий решение обладает возрастающей несклонностью к риску, если: 1) он не склонен к риску и 2) надбавка за риск  в любой лотерее для него увеличивается при увеличении опорной суммы x.