Сведения из теории множеств. Операции над множествами. Теоретическая справка. Классические критерии принятия решения, страница 2

Теоретическая справка.................................................................................

Задание на работу..........................................................................................

Литература.......................................................................................................

Термины и обозначения

В данной работе используются некоторые понятия и обозначения принятые в теории множеств и логики (исчислении высказываний). (см., например, Р.Р. Стол «Множества. Логика. Аксиоматические теории.» М: Просвещение, 1968г.)

Сведения из теории множеств

Множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты есть элементы или члены множества. Множество определяется своими членами. Множество S, элементами которого являются предметы x₁,x₂,...,x_n обозначается {x₁,x₂,...,x_n}.

Между предметом x и множеством A определяются отношения принадлежности:

xÎA     «x принадлежит A», если x является элементом A;

xÏA     «x не принадлежит A», если x не является элементом A;

Между двумя множествами A и B существуют отношения включения и равенства:

AÍB    «A включено в B», если каждый элемент множества A является элементом множества B;

AÌB    «A строго включено в B», если AÍB и A¹B;

A=B     «A равно B», если множества A и B состоят из одних и тех же элементов;

A¹B     «A не равно B», если множества  A и B не состоят из одних и тех же элементов.

Æ         «пустое множество», множество не содержащее элементов.

Операции над множествами

AÈB - операция объединения. Результатом является новое множество AÈB, причем xÎAÈB, когда x есть элемент хотя бы одного из множеств A и B;

AÇB - операция пересечения. Результатом является новое множество AÇB, причем xÎAÇB тогда и только тогда, когда xÎA и xÎB;

 - дополнение множества:

абсолютное - если xÎ, то xÏA;

относительное - X-A, т.е. xΠесли xÎX то xÏA;

A+B - симметричная разность: A+B=(A-B)È(B-A).

Чтобы задать множество, необходимо задать его члены. Если множество состоит из большого (или неизвестного заранее) числа элементов, то его нельзя задать перечислением этих элементов. В этом случае множества описываются с помощью так называемых форм.

Любая форма P(x) определяет некоторое множество A посредством условия, согласно которому элементами множества A являются в точности такие предметы a, что P(a) есть истинное высказывание, заданное таким образом множество обозначается {x|P(x)}, что читается так: «множество всех таких x, что P(x)». Таким образом, aÎ{x|P(x)} в том и только в том случае, если P(a) - истинное высказывание.

Определяет что такое высказывание и исследует их истинность раздел логики, который называется исчислением высказываний.

Сведения из логики.

Под высказыванием мы понимаем повествовательное предложение, которое имеет то свойство, что оно может быть классифицировано либо как ложное, либо как истинное, но не как то и другое вместе. Обозначим «истинность» через T и «ложность» через F. Любое высказывание может быть образовано связывания простых предложений с помощью слов «не», «и», «или», «если...,то», (или «влечет»), «тогда и только тогда, когда», которые называются сентенциональными связками . Используются следующие обозначения этих связок

Т          «не» (отрицание)

Ù          «и» (конъюнкция)

Ú          «или» (дизъюнкция)

®        «если ..., то» (импликация)

«        «тогда и только тогда, когда» (эквиваленция)

Приписывание истинных значений может быть сведено в краткие истинностные таблицы при помощи которых можно приписывать истинное значение любому высказыванию для всех возможных случаев приписывания истинных значений составляющим его высказыванием.

Отрицание

P
T	F
F	T