Сведения из теории множеств. Операции над множествами. Теоретическая справка. Классические критерии принятия решения, страница 7

Характеристики функций полезности

Введем некоторые качественные характеристики функций полезности. Каждая такая характеристика отражает определенную особенность предпочтений лица, принимающего решение, относительно возможных исходов и лотерей. Выразив эти особенности математически, можно аналитически описать ограничения на функцию полезности, которые вытекают из наличия этих особенностей.

Часто разумной и оправданной характеристикой является монотонность. В случае, когда исходы упорядочены по возрастанию предпочтительности, функция полезности должна удовлетворять условию

[x₁>x₂]Û[u(x₁)>u(x₂)].

О такой функции полезности мы говорим как о монотонно возрастающей.

Если же исходы упорядочены по убыванию предпочтительности, функция полезности должна удовлетворять условию

[x₁>x₂]Û[u(x₁)<u(x₂)].

О такой функции мы говорим как о монотонно убывающей.

Можно легко перейти от убывающей к возрастающей функции полезности, изменив критерий или поменяв знак эффективности.

Понятие детерминированного эквивалента является одним из основных в теории полезности.

Пусть L - лотерея, приводящая к выигрышам (исходам) x₁,x₂,...,x_n с вероятностями p₁,p₂,...,p_n соответственно. Обозначим неопределенный исход (случайную переменную) через x, ожидаемый выигрыш через x_m:

Ожидаемая полезность этой лотереи равна

 

и является показателем, который при выборе лотерей следует максимизировать.

Детерминированным эквивалентом лотереи L называется величина x_d такая, что принимающий решение безразличен в выборе между участием в лотерее L и получением x_d наверняка. Следовательно, x_i определяется равенством

u(x_d)=M[u(x)], или x_d=u^-1(M[u(x)]).

где u^-1 - функция, обратная к u. Заметим, что для монотонной функции полезности детерминированный эквивалент любой лотереи определяется однозначным образом.

Две функции полезности u₁ и u₂ стратегически эквивалентны (u₁~u₂) тогда и только тогда, когда они одинаково упорядочивают по предпочтительности любые две лотереи.

Из этого определения следует, что если u1~u₂, детерминированные эквиваленты, определенные функциями u₁ и u₂ одинаковы:

u₁~u₂ Þu₁^-1(M[u(x)])=u₂^-1(M[u(x)]).

Можно показать, что если для некоторых констант h и k>0 справедливо

u₁=h×u₂(x)+k при любых x, то u₁~u₂.

Обратно, если u₁~u₂, то существуют такие постоянные h,k>0, что

u₁=h×u₂(x)+k при любых x.

Введем несколько типов отношения к риску.

Принимающий решение не склонен к риску, если он предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш в любой невырожденной (т.е. не содержащей выигрыша, получаемого с вероятностью 1) лотерее вместо участия в этой лотерее.

В такой ситуации полезность ожидаемого выигрыша любой лотереи должна быть больше ожидаемой полезности этой лотереи. Таким образом, мы не склонны к риску, если для любой невырожденной лотереи

u(M[x])>M[u(x)], где x - возможные исходы лотереи.

Принимающий решение, который предпочитает получение наверняка ожидаемого выигрыша любой лотереи <x₁,x₂> участию в самой лотерее, не склонен к риску.

Принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута (выпукла вверх).

Принимающий решение склонен к риску, если он предпочитает участие в любой невырожденной лотерее получению наверняка ожидаемого выигрыша этой лотереи.

Для такого индивидуума полезность ожидаемого выигрыша должна быть меньше, чем ожидаемая полезность лотереи, т.е.

u(M[x])<M[u(x)].

Принимающий решение склонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности выпукла (выпукла вниз).

Принимающий решение безразличен к риску, если он не может определиться в предпочтении между участием в любой невырожденной лотерее и получением наверняка ожидаемого выигрыша этой лотереи.

Для такого индивидуума полезность ожидаемого выигрыша должна быть равна ожидаемой полезности лотереи, т.е.

u(M[x])=M[u(x)].

Принимающий решение безразличен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности линейна.