Сведения из теории множеств. Операции над множествами. Теоретическая справка. Классические критерии принятия решения, страница 19

Лингвистическая переменная (ЛП) описывается набором <b,T,X,G,M>, где b - наименование ЛП, T-терм-множество лингвистической переменной, т.е. множество качественных значений, которые она может принимать, количественные аналоги которых располагаются в множестве X, G-синтаксическое правило, порождающее наименования aÎT качественных значений ЛП; M-семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной aÎT нечеткое множество M-смысл нечеткой переменной. Для упрощения лингвистическую переменную определяют также как тройку <b,T,X>, вкладывая в обозначения тот же смысл.

Примером ЛП может служить стоимость выпускаемой продукции, оцениваемая качественными понятиями "малая", "средняя", "большая": <"Стоимость", {"малая","средняя","большая"}, [0;5000000]>. Каждое качественное понятие описывается как НП. Например, значение "Малая" описывается НП <"Малая",[0;5000000]; где нечеткое множество С может иметь вид C={<1/0>,<0.8/500000>,<0.6/1000000>,<0.2/2000000>}.

Над нечеткими множествами можно производить операции пересечения, объединения, дополнения, определять степень включения одного множества в другое и степень равенства двух нечетких множеств.

Пусть A и B - нечеткие множества на X; A={<m_A(x)/x>},B={<m_B(x)/x>},xÎX. Будем обозначать операцию взятия минимума через &, а операцию взятия максимума через Ú.

Пересечением множеств A и B называется нечеткое множество, обозначаемое AÇB и определяемое как

AÇB={<m_AÇB(x)/x>},xÎX, где

m_AÇB(x)= m_A (x) &m _B(x).

Объединением множеств A и B называется нечеткое множество, обозначаемое AÈB и определяемое как

AÈB={<m_AÈB(x)/x>},xÎX, где

m_AÈB(x)= m_A (x) Úm _B(x).

Дополнением множества A называется нечеткое множество, обозначаемое  и определяемое как

  

где

а степенью включения множества A в множество B называется величина n(A,B), определяемая как

где

 

Степенью равенства множеств A и B называется величина m(A, B), определяемая как

 

где

Очевидно, что

Каждый объект может описываться каким-то основным набором параметров, которые в тот или иной момент времени принимают определенные значения.

Для оценки состояния объекта используется набор признаков, характеризующих интересующий нас объект. Каждый из этих признаков описывается как ЛП.

Нечеткой ситуацией s называется нечеткое множество s={<m_s(y_i)/y_i>}, где y_iÎY, а Y - множество качественных признаков, характеризующих объект.

Для нечетких ситуаций можно определять степень включения одной ситуации в другую определять степень равенства ситуаций с заданным порогом нечеткого равенства, который обычно находится в промежутке [0.6;1].

Практически доказано, что при обучении у человека складывается некоторый набор эталонных ситуаций, при которых необходимо принимать определенные решения. В дальнейшем в процессе принятия решений человек сравнивает возникающие ситуации с эталонными ситуациями, пользуясь некоторыми, чаще всего качественными, описаниями ситуаций. При этом выясняется текущее состояние объекта принятия решений и принимается соответствующее решение.

Такой принцип положен в основу ситуационной нечеткой модели принятия решений, которая действует следующим образом. Заранее выявляется набор нечетких ситуаций S_S={S₁,...,S_N}, характеризующий все возможные состояния объекта принятия решения. Ситуации, входящие в набор S_S, называются эталонными. Каждой эталонной ситуации S_i экспертом ставится в соответствие решение R_i. Затем для принятия решения необходимо перевести исходную совокупность качественных и количественных характеристик объекта в нечеткую ситуацию S₀, сравнить ее с совокупностью эталонных ситуаций и найти наиболее близкую в некотором смысле к возникшей. Предполагается, что множество S_S полно, и эталонная ситуация S_i существует для любой исходной ситуации S₀. Соответственно найденной ситуации принимается решение R_i.