Сведения из теории множеств. Операции над множествами. Теоретическая справка. Классические критерии принятия решения, страница 10

Для построения функции полезности необходимо выяснить, монотонна она будет или немонотонна. Мы можем спросить у лица, принимающего решение: если x_k>x_j, всегда ли x_k предпочтительнее x_j? Полученный утвердительный ответ говорит о монотонном возрастании функции полезности. При отрицательном ответе можно спросить у лица, принимающего решение: если x_k>x_j, всегда ли x_j предпочтительнее x_k ? Полученный утвердительный ответ говорит о монотонном убывании функции полезности. Отрицательный ответ означает, что функция полезности будет немонотонной. Тогда приходится разбивать исследуемый интервал [x⁰,x^*] на N равных интервалов, обозначив точки деления через x⁰,...,x^N и выяснить для всех i=0,1,...,N-1, предпочитает лицо, принимающее решение, x_i или x_i+1. Затем, проанализировав ответы, можно установить число отрезков, на которых функция полезности будет монотонна, и характер монотонности на каждом из отрезков.

Затем следует выяснить, какой из типов отношения к риску должна отражать функция полезности. Сначала мы выясняем у лица, принимающего решение, предпочитает ли он <x+h,x-h> или же x при любых произвольно выбранных x и h Если он предпочитает лотерею, мы считаем, что он склонен к риску, если он предпочитает ожидаемый выигрыш, мы считаем, что он несклонен к риску, при одинаковых предпочтениях мы считаем, что он безразличен к риску.

В случае отсутствия однозначного ответа можно проделать следующую процедуру. Необходимо разбить область значений критерия на N равных интервалов, обозначив точки деления через x₀,...,x_N либо воспользоваться уже существующей разбивкой, и опросить лицо, принимающее решение, о предпочтениях относительно <x_i-1,x_i+1> и x_i для i=1,2,...,N. Число N лучше взять чётным, это будет удобнее в дальнейшем. Если u характеризует несклонность к риску, ожидаемые выигрыши во всех случаях должны предпочитаться лотереям, при склонности к риску во всех случаях лотереи должны предпочитаться ожидаемым выигрышам, при безразличии к риску предпочтения должны быть во всех случаях одинаковыми. В случае различных ответов, данных лицом, принимающим решение, необходимо сообщить ему об этом и повторить процедуру опроса.

Теперь, если установлено, что функция полезности должна отражать склонность либо несклонность к риску, необходимо установить тип монотонности отношения к риску. Для этого необходимо определить детерминированные эквиваленты x_di для <x_i-1,x_i+1> при i=1,2,...,N-1. Если с увеличением x надбавка за риск  убывает (возрастает, остается постоянной), то u характеризуется убывающей (возрастающей, постоянной) склонностью или несклонностью к риску. Разумеется, необходимо помнить, что для возрастающих и убывающих функций полезности надбавка за риск определяется по-разному.

Вначале можно прямо спросить у лица, принимающего решение, не может ли он указать значение детерминированного эквивалента x_di для <x_i-1,x_i+1>. Если же лицо, принимающее решение, не может сделать этого, детерминированный эквивалент можно определить так называемым "методом схождения".

Предположим, нам необходимо определить детерминированый эквивалент лотереи <x₁,x₂> и функция полезности монотонно возрастает. Начнем с того, что спросим у лица, принимающего решение: предпочитает он <x₁,x₂> или x_a, причем x выбирается так, что разумно ожидать выбор лотереи, а не x_a, например, x_a=x₁+0.1h, h=x₂,x₁. Допустим, что наши предположения оказались верными. Тогда мы спросим у лица: принмающего решение: предпочитает он <x₁,x₂> или x_b, причем x_b выбирается так, что разумно ожидать выбора x_b, а не лотереи, например, x_b=x_a+h_b,h_b=0.9h. Допустим, что наши предположения вновь оказались верными. Тогда мы спросим у лица, принимающего решение: предпочитает он <x₁,x₂> или x_c, прием x_c выбирается так, что разумно ожидать выбор лотереи, а не x_c, например, x_c=x_a-h_c,h_c=0.9h_b, так что x_c=x_a+0.09h. Вероятно, что наши предположения вновь оказались верными, хотя возможно, что и нет. Продолжаем эту процедуру "схождения" до тех пор, пока не достигнем такого x, что ч и, <x₁,x₂> для лица, принимающего решение, одинаково предпочтительны. При условии, что оценки корректны в том смысле, что лицо, принимающее решение, действительно безразлично к выбору между x и <x₁,x₂>, x является детерминированным эквивалентом этой лотереи.