Сведения из теории множеств. Операции над множествами. Теоретическая справка. Классические критерии принятия решения, страница 6

Теперь предположим, что лицо, принимающее решение, просят выразить свои предпочтения для вероятностных распределений на множестве этих исходов. Например, принимающего решение просят установить предпочтения между действиями a и b, где действие a приводит к исходам x_i с вероятностями Pa_i,i=1,...,n, а действие b приводит к исходам x_i с вероятностью Pb_i,i=1,...,n.

Допустим теперь, что для каждого i лицу, принимающему решение, безразлично, на какой из двух альтернатив остановить свой выбор:

1.Детерминированная альтернатива: получить x_i "наверняка".

2.Альтернатива, связанная с риском (рискованный выбор): получить x_n (лучший исход) с вероятностью P_i и x₁ (худший исход) с вероятностью 1-P_i. Обозначим рискованный выбор через <x_n,P,x₁>. Далее, полагаем, что поведение лица, принимающего решение, является непротиворечивым (согласованным) в том смысле, что для него P_n=1 и P₁=0, а числа P_i таковы, что P₁<P₂<...<P_n.

Замечаем, что величины P выступают в качестве числовых (шкалирующих) оценок исходов x.

Основной результат теории полезности состоит в том, что математическое ожидание величины P также может быть использовано при введении числовых оценок (шкалирования) вероятностных распределений на множестве исходов x. Поясним это, вернувшись к рассмотрению выбора между действиями a и b. Если мы припишем каждому x_i его шкальную оценку P_i, то математические ожидания действий a и b, обозначаемые соответственно через Mp_a и Mp_b, будут равны

Имеются веские соображения, согласно которым целесообразно ранжировать действия a и b в соответствии с величинами Mp_a и Mp_b. Аргументация здесь такова. Рассмотрим действие a. Оно приводит с вероятностью Pa_i к исходу x_i. Но для принимающего решение безразлично, получить ли наверняка x_i, или же оказаться в ситуации, в которой имеется P_i шансов за x_n и 1-P_i шансов за x₁. Таким образом, в действительности действие a эквивалентно представлению лицу, принимающему решение, Mp_a шансов за x_n и 1-Mp_a шансов за x₁. Подобным же образом b приводит к Mp_b шансам за x_n и 1-Mp_b шансам за x₁. Это завершает аргументацию, которая существенным образом опирается на замену каждого детерминированного выбора x_i рискованным выбором <x_n,P_i,x₁>

Обозначим возможные последствия решений, в данном случае выступающие в качестве случайных исходов выбранной лотереи, соответственно через x₁,x₂,...,x_n.

Будем обозначать функцию полезности через u(x). Поскольку полезность не абсолютна, а относительна, для установления начала отсчета и единицы измерений мы можем произвольно назначить полезности двух исходов и затем для остальных исходов определить их полезность относительно этих двух. Удобнее всего обозначить через x⁰ и x^* один из наименее предпочтительных и один из наиболее предпочтительных исходов (имеется в виду что не может быть более одного исхода с одним и тем же уровнем предпочтительности).

Теперь для установления шкалы положим u(x^*)=1 и u(x⁰)=0 и подберем для каждого другого исхода x вероятность P такую, чтобы x был эквивалентен лотерее <x_n,P,x₁>, дающей P шансов за исход x^* и 1-P - за исход x⁰. Тогда, поскольку полезность x должна быть равна ожидающейся полезности лотереи, мы полагаем

.

Установив таким образом значения полезности всех исходов x, можно провести различными способами проверку их согласованности. Например, пусть x¹,x²,x³ - последовательность исходов, возрастающих по предпочтительности, и пусть получение x² наверняка эквивалентно участию в лотерее <x³,p,x¹>. Тогда для согласованности необходимо, чтобы число p было таким, что

Этот метод прямого установления может быть применен к задачам, в которых возможных исходов немного. В задачах с большим числом исходов при наличии естественного упорядочения исходов x лучше использовать другой подход. Соответствующий метод включает в себя установление полезности для нескольких исходов, как это указывалось выше и подбор описывающих их кривой - функции полезности. Вид и функциональная форма функции полезности говорят очень много об отношении лица, принимающего решение, к риску. Поэтому общий подход начинается с выяснения этих основных особенностей отношения к риску, установления функциональных форм функций полезности, отражающих эти особенности, после чего переходят к конкретизации функции полезности на основе нескольких построенных точек.