Квантовая механика, металлы и полупроводники. Волновые свойства частиц (волны де Бройля), страница 6

 Оператор Гамильтона соответствует полной энергии частицы, Е это собственные значения энергии, которые может приобретать частица. В общем случае эти энергии являются дискретными, набор возможных энергий называется  спектром собственных значений. Каждому собственному значению энергии Е_n соответствует собственная волновая функция y_n, собственные  функции образуют полную систему ортонормированных функций.

, где= 1 при  k=n

                                          =0 при kn

Определенному состоянию измеряемой величины соответствует функция ,общему состоянию отвечает суперпозиция всех возможных состояний, где коэффициенты  определяют вероятность получить конкретное состояние .Как обычно, эта вероятность пропорциональна

Операторы и физические величины.

Установим некоторые полезные соотношения между классическими величинами и квантовыми. Для этого возьмем оператор Гамильтона

и сравним его с выражением для полной энергии в классической механике

Сравнивая эти два выражения, имеем

, аналогично для других координат  , .

т.е.импульсу р в классической механике соответствует дифференциальный оператор

Аналогично, координатам приводятся в соответствие операторы умножения волновой функции на операторы .

В дальнейшем значки операторов не ставятся, а подразумеваются.

Резюме: хх. Р, ЕH.

Операторы, соответствующие физическим величинам, обладают особыми свойствами

а) собственные значения операторов должны быть вещественными величинами

откуда следует

Операторы, обладающие такими свойствами, называются самосопряженными.

б) Операторы должны быть линейными

 ,

соответствует принципу суперпозиции в классической механике.

Коммутативность операторов и принцип неопределенностей,

Рассмотрим произведение двух операторов координаты х и импульса , также и х,