Квантовая механика, металлы и полупроводники. Волновые свойства частиц (волны де Бройля), страница 11

б) =2π, , . В свою очередь

 , где Ώ объем элементарной ячейки.

 в) =2π, , .

 Определенные таким образом вектора , ,  задают новую периодическую последовательность, так называемую обратную решетку, а сами вектора являются основными векторами обратной решетки. С их помощью задаются координаты произвольного узла обратной решетки:

, для которых выполняются условия дифракции Лауэ.

Примеры построения обратных решеток.

а) прямая решетка для одномерного случая;                       обратная решетка

 б).

Зонная теория для металлов.

Металлы –это твердые вещества, т.е. они обладают кристаллической решеткой, которая в большинстве случаев относится к кубической сингонии. В узлах этой решетки расположены однократно заряженные ионы, образующие потенциальную яму, в ней практически свободно двигаются электроны. Этот электронный газ компенсирует силы расталкивания между ионами, в результате образуется прочный кристалл. Этот вид связи называется металлической связью. На границах кристалла имеется потенциальный барьер, который не позволяет электронам покидать образец. Все это отображается в виде следующей энергетической диаграммы. Для расчета энергетического спектра воспользуемся условием периодичности волновой функции (условие Борна).

Для свободной частицы имеем

Это справедливо при , или ,

Как обычно, опять получаем дискретные

значения энергии . В случае трехмерной потенциальной ямы волновой вектор , и для энергии . Придавая числам  значения 0,1,2...,будем получать различные возможные значения энергии электрона. Введем пространство, где по осям отложим значения

. Каждая точка соответствует одному энергетическому уровню. Подсчитаем число этих энергетических уровней, попадающих в сферу радиуса n.

Введем концентрацию уровней  и сравним ее с концентрацией электронов. На каждом энергетическом уровне по принципу Паули может располагаться не более 2-х электронов, причем для металлов известно, что электроны занимают лишь часть уровней, а часть уровней свободна. Последний уровень, занятый электронами, определяет энергию Ферми .