Экономика и менеджмент \ Математические модели экономики

Целевые установки развития и типы экономических моделей. Модели общего равновесия. Модели экономического взаимодействия. Связь между производственными функциями с взаимозаменяемыми ресурсами и функциями производственных затрат, страница 7

– взаимозаменяемые товары, рост цены на j-ый товар приводит к тому, что потребитель начинает покупать большее количество i-ого товара.

– нормальные товары, с ростом дохода потребителя, он увеличивает спрос на данный товар.

– малоценные товары, когда индивид становится богаче, он сокращает их потребление (дешёвая одежда).

Для характеристики относительного изменения спроса используют коэффициенты эластичности.

– коэффициент эластичности спроса на товар i от дохода, характеризует относительное изменение спроса по отношению к относительному изменению дохода. На сколько изменится спрос на данное благо при изменении дохода на единицу.

– коэффициент эластичности спроса на товар i от цены товара j, характеризующий относительное изменение спроса при относительном изменении цены.

Эластичность спроса по цене

В зависимости от значения коэффициента эластичности все товары делятся на три группы:

· Товары с неэластичным спросом ;

· Торы с единичной эластичностью ;

· Товары с высокоэластичным спросом

Эластичность спроса от дохода

Л. Торнквист разделил все товары на три группы, в зависимости от эластичности спроса на эти товары от дохода. Мы последуем его примеру.

1. Товары первой необходимости. Функция спроса на эти товары имеет вид

, где

Она отражает тот факт, что рост спроса на товары, удовлетворяющие насущные потребности, постепенно замедляется (так, что ). И имеет придел , при (т.е. кривая асимптотически приближается к линии).

2. Предметы второй необходимости или товары, эластичность которых близка к единице. Функция спроса:

, при и , , .

Эта функция так же имеет придел , но более высокого уровня чем . Спрос на эту группу товаров появляется, только если уровень дохода превысил уровень

3. Предметы роскоши, спрос на эту группу товары выражается следующей формулой.

, при и , ,

Придел этой функции равен бесконечности, спрос возникает только после того, как доход превысит

Однако стоит понимать, что функции Торнквиста не всегда объективно отражают ситуацию, они описывают только монотонное изменение спроса, в то время как функция спроса может иметь S-образную форму, может иметь точки максимума и точки перегиба.

Выведем различные соотношения между эластичностями:

1. Для однородных функций есть такая формула Эйлера:

, где n это степень однородности.

В качестве функции возьмём функцию спроса , степень однородности этой функции ноль, поэтому уравнение Эйлера переписывается следующим образом:

Делим обе части на , получаем

, или

Видим, что левая часть этого равенства сумма эластичностей спроса на i-ый товар от j-ой цены, а правая часть эластичность спроса на i-ый товар от дохода. То есть данное равенство можно переписать следующим образом.

– Вот такое хорошее равенство!

2. Уравнение Энгеля (условие агрегации Энгеля)

Продифференцируем по R бюджетное ограничение , получим

– в принципе уже вот эту штуку называют уравнением Энгеля. Однако её ещё можно по-преобразовывать. Из следующих рассуждений.

На приобретение каждого потребитель товара тратит определённую долю своего дохода, обозначим эту долю – , то есть

, отсюда выражаем , подставляем это в уравнение , получаем

, узнаём эластичность спроса по доходу, – получаем, что средневзвешенная эластичностей по доходу по всем товарам равна единице.

3. Условие агрегации Курно

Теперь продифференцируем бюджетное ограничение по , получим

или

То есть спрос на i-ый товар равен отрицательной взвешенной изменений спроса на все товары от изменения цены i-го товара. Хотя это равенство также можно еще по-преобразовывать.