Экономика и менеджмент \ Математические модели экономики

Целевые установки развития и типы экономических моделей. Модели общего равновесия. Модели экономического взаимодействия. Связь между производственными функциями с взаимозаменяемыми ресурсами и функциями производственных затрат, страница 2

в)   Однако, такая запись допускает, что все частные критерии одинаково важны. Если захотеть ввести различную степень важности, то можно использовать следующую функцию:

F(X) =       

Условная субоптимизация

Однако рассмотрим теперь  субоптимизации. Причем ненулевое λ стоит перед функцией полезности потребителей. То есть задача имеет вид:

U(X2) → max

g1(X1) – X2Q

g2(X1)  R

X1, X2   0

Кроме того, если рассматривать открытую экономику, то первое ограничение можно переписать, учитывая  S – сальдо внешнеторговых балансов g1(X1) – X2Q + S

При этом предполагается, что  – все   остальные целевые функции не ниже допустимого уровня.

Лирическое отступление лектора:

А какие бывают цели по отношению друг к другу? Цели бывают:

·  взаимодействующие

·  нейтральные

·  конфликтные

Теперь к делу.

Сопоставим ограничениям модели множители Лагранжа. Обозначим векторы строки для неравенств g1(X1) – Q  X2 – как V = (vs1), а для неравенств g2(X1)  R – как    W = (ws2). Составим Лагранжиан:

L(X, V, W) = U(X2) – V(X2 + Q – g1(X1)) + W(R– g2(X1))

Из теории нелинейного программирования известно :))

V = (vs1) =                 W = (ws2) =

Множитель Лагранжа даёт информацию, насколько чувствительно изменение целевой функции от изменения правой части соответствующего ограничения. Данные величины имеют разные названия – двойственные переменные, оценки оптимального плана, объективно обусловленные оценки, теневые цены, цены оптимального плана. Я бы хотела заострить внимание на том, что это – цены.

Обоснование этого факта для любителей:

Имеем задачу:

f(X) → max            при ограничениях

g(X)  b                 где g(X) = [gs(X)], sM  и  b – вектор из вещественных чисел

X  0

Задача нелинейного программирования обычно решается с помощью функции Лагранжа

L(X, Y) = f(X) + Y(b – g(X))

Данный Лагранжиан рассматривается на множестве векторов X0, Y0. Компоненты m-мерного вектора-строки Y = (ys), как водится, называются множителями Лагранжа.

Найдём векторы частных производных первого порядка данного Лагранжиана.

Теперь надо вспомнить второй семестр, Матан, поиск условного экстремума. Тогда задача имела вид

f(X) → max              т.е. ограничения в виде равенств и нет условий неотрицательности

g(X) = b                    переменных

Это так называемая задача в классической форме. Для таких задач мы тоже строили функцию Лагранжа и  необходимым условием максимума f(X) являлось равенство нулю всех частных производных этой функции Лагранжа нулю.

Однако в нашей модели присутствие неравенств и условий неотрицательности имеет принципиальное значение. Поэтому попытаемся свести имеющуюся у нас задачу к задаче в классической форме.

Если вспомнить условия дополняющей нежесткости, то получим, что в оптимальной точке (X*, Y*), должны выполняться следующие условия

1.  Прямоугольная выноска: Совокупность этих условий обычно называется условиями Куна-Таккера

2. 

3.  X*0

4. 

5. 

6.  Y*0

Для анализа решений оптимизационных задач важное значение имеет вопрос: какое влияние оказывает изменение параметров правой части – вектора b на значение целевой функции f(X)?

В отношении тех ограничений, которые в оптимальном плане выполняются как строгие неравенства gs(X*) < bs, ответ вполне очевиден: малые изменения bs не изменяют равенства f(X)=f(X*). Если ограничение выполняется как строгое неравенство, значит, этот ресурс недефицитен. Тогда некоторое изменение доступного его количества не изменит выбор оптимального X*.

Предположим, что известно, какие ограничения выполняются как равенства, а какие как неравенства, а также известно какие именно переменные в оптимальном плане равны нулю, а какие положительны. Пронумеруем ограничения и переменные следующим образом:  первые m1 ограничений выполняются как равенства, 0 m1 m, а остальные (m- m1) ограничений как строгие неравенства; первые n1 переменных положительны  0 n1 n, а остальные (n- n1) переменных равны нулю. Тогда

; Y = (Y1, Y2);  ;

Неравенства и нулевые переменные можно исключить из задачи (предполагается, что нулевые переменные останутся нулевыми при некоторых изменениях исходных данных). В результате получаем классическую задачу:

Скачать файл