Экономика и менеджмент \ Математические модели экономики

Целевые установки развития и типы экономических моделей. Модели общего равновесия. Модели экономического взаимодействия. Связь между производственными функциями с взаимозаменяемыми ресурсами и функциями производственных затрат, страница 13

Нулевая эластичность (или ) означает отсутствие замещения. Вообще чем больше величина , тем шире возможность замещения одних ресурсов другими. Стремление эластичности к бесконечности () означает, что каждый ресурс используется независимо от других и является полностью заменяемым.

Эластичность производства от степени однородности производственной функции

Модель оптимального поведения фирмы

Считается, что основной целевой установкой фирмы является максимизация прибыли. Хотя, как заметила наш лектор, это выполнено лишь при условии, что целевые установки владельцев и управляющих совпадают, обычно управляющие стремятся к максимизации объёма продаж, а не прибыли. Кроме того типичной целевой установкой является минимизация затрат при заданном уровне выпуска. Однако пока мы остановимся на случае, когда целевым критерием является максимизация прибыли.

С точки зрения временного горизонта можно различать задачи двух типов – краткосрочные и долгосрочные.

Краткосрочная задача ставится на один производственный цикл. Здесь решается задача рационального использования уже имеющихся в распоряжении фирмы ресурсов. Поэтому математические модели краткосрочной задачи фирмы представляют собой оптимизационные задачи с ограничениями.

Долгосрочная задача охватывает период, достаточный для наращивания или сокращения основных фондов, изменения структуры производства, определения долгосрочных инвестиций. Поэтому математические модели долгосрочной задачи фирмы представляют собой безусловную оптимизацию.

Будем считать, что фирма производит один продукт, используя n ресурсов. Задана технология производства: . Обозначим через p цену выпускаемой продукции, а через цену ресурса i-го вида. Тогда доход от реализации готовой продукции.

В свою очередь издержки предприятия делятся на переменные (зависят от количества выпускаемой продукции) и постоянные (обозначим их ). Тогда общие издержки можно записать так

Однако постоянные издержки не связаны с выпуском и составляют некоторую постоянную величину. В задаче максимизации прибыли эта величина особой роли не играет, поэтому при составлении моделей мы не будем ее учитывать.

Теперь, в соответствии с вышеизложенным, можем записать задачи производителя.

Краткосрочная задача:

либо

Долгосрочная задача:

Решая задачу безусловной максимизации, для , получим

или

Величина называется стоимостью предельного продукта. Поэтому это равенство можно истолковать как: стоимость предельного продукта данного ресурса равна его цене.

Теперь выведем прочие полезные соотношения:

. Предельная норма трансформации .

Подставим найденное условие оптимума первого порядка в функцию прибыли:

По уравнению Эйлера для однородной функции, получим

Видим, что если

· n<1 то предприятие имеет прибыль (это утверждение и меня повергает в лёгкий шок).

· n=1 то предприятие имеет нулевую прибыль (стандартная ситуация на РСК).

· n>1 то предприятие не работает на РСК, так у него положительная отдача от масштаба (при увеличении затрат на единицу выпуск увеличивается больше чем на единицу), это предприятие – монополист.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда предприятие выпускает несколько продуктов.