Математика \ Высшая математика

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине "Высшая математика". Часть 2. Задачи для самостоятельного решения по теории вероятностей, страница 19

9. Цены на товар три раза повышались на 5%. На сколько процентов возросла цена по сравнению с первоначальной? На сколько процентов надо уменьшить достигнутую цену, чтобы она стала равна первоначальной?

10. Банк выплачивает клиентам 14% годового дохода. Какой процент годового дохода можно получить, ежемесячно снимая проценты и добавляя их к вкладу? До какой максимальной величины можно довести процент годового дохода? Все операции проводятся бесплатно.

Точку х₀ называют точкой разрыва функции у= f(х) в двух случаях:

во-первых, если х₀ÏХ, но является точкой сгущения Х, или

во-вторых, если х₀ÎХ, но .

Если точка х₀ не является точкой сгущения Х, то вопрос о непрерывности или разрыве функции f(х) в этой точке вообще не рассматривается.

Пример 1.

Исследовать непрерывность функции f(х)=.

Решение: областью определения функции является вся числовая ось, кроме точки х=0, Х º (-¥;0) È (0;+¥). В любой точке х₀¹0 , следовательно функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Точка х₀=0 является точкой сгущения Х, но х₀ÏХ, и следовательно х₀=0 является точкой разрыва функции f(х)=.

Пример 2.

Исследовать непрерывность функции f(х)=.

Решение:

Областью определения функции является множество Х º (-¥; -1) È (1;+¥).

При всех других значениях аргумента подкоренное выражение, входящее в функцию, становится отрицательным, и корень из него не существует.

Вариант 5.

1. Построить один из возможных вариантов графика функции у=f(х), для которой , , , .

2. Вычислить

, , ,

, , .

3. Найти точки разрыва, асимптоты, интервалы монотонности и экстремумы функций , . Построить графики функций.

4. Вычислить приближенно , используя пять слагаемых в формуле Тейлора. Сравнить с точным значением.

5. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница , .

6. Составить любую интегральную сумму при n=4 для интеграла . Сравнить ее значение с точным значением интеграла.

7. Найти в произвольной точке и точке М₀ (1,4,-2), если .

8. Найти экстремумы функции .

9. Цены на товар три раза повышались на 4%. На сколько процентов возросла цена по сравнению с первоначальной? На сколько процентов надо уменьшить достигнутую цену, чтобы она стала равна первоначальной?

10. Банк выплачивает клиентам 12% годового дохода. Какой процент годового дохода можно получить, ежемесячно снимая проценты и добавляя их к вкладу? До какой максимальной величины можно довести процент годового дохода? Все операции проводятся бесплатно.

Довольно часто раскрытие неопределенностей сводится к одному из двух пределов, которые называются

первый замечательный предел

и второй замечательный предел

В первом случае раскрыта одна из неопределенностей вида , во втором - [1^¥]. В любом учебнике по математическому анализу приводится подробный вывод этих результатов.

Следует заметить, что и в первом и во втором замечательных пределах вместо х может стоять любое выражение, главное, чтобы это выражение стремилось к нулю в первом замечательном пределе, и к бесконечности во втором замечательном пределе. Проиллюстрируем это:

1) , т.к. 2х ® 0 при х ® 0, аргумент синуса и знаменатель совпадают;

2) , т.к. (p-х) ® 0 при х ® p, аргумент синуса и знаменатель совпадают;

3) не является первым замечательным пределом, так как аргумент синуса не совпадает знаменателем, но этот предел можно привести к первому замечательному пределу, умножив на 7 числитель и знаменатель: , т.к. , 7х ® 0 при х ® 0.