Математика \ Высшая математика

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине "Высшая математика". Часть 2. Задачи для самостоятельного решения по теории вероятностей, страница 18

Если Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение с математическим ожиданием m и дисперсией s², то при увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и ().

Пример:

Монету бросают 700 раз. Найти вероятность того, что количество выпаданий герба будет заключено в промежутке от 330 до 370.

Решение:

Рассмотрим случайную величину Х_i – количество выпадений герба при

одном, i-том броске. Ряд распределения X_iдля любого i:

Х_i	0	1
Р

М(Х_i)=m=0×+1×=

D(Х_i)= s²=

Количество выпадений герба распределено нормально с

В последнем правиле, которое называется правило дифференцирования сложной функции, - производная функции F(u) по аргументу u.

Теперь приведем таблицу производных элементарных функций, и рядом с производной каждой элементарной функции покажем, что изменится (согласно правилу 6), если аргументом элементарной функции в свою очередь будет какая-то функция от х.

1*)	(1**)
2*)	(2**)
(3*)	(3**)
(4*)	(4**)
(5*)	(5**)
(6*)	(6**)
(7*)	(7**)
(8*)	(8**)
(9*)	(9**)
(10*)	(10**)

Вариант 1.

1. Построить один из возможных вариантов графика функции у=f(х), для которой , , , .

2. Вычислить

, , ,

, , .

3. Найти точки разрыва, асимптоты, интервалы монотонности и экстремумы функций , . Построить графики функций.

4. Вычислить приближенно , используя пять слагаемых в формуле Тейлора. Сравнить с точным значением.

5. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница , .

6. Составить любую интегральную сумму при n=4 для интеграла . Сравнить ее значение с точным значением интеграла.

7. Найти в произвольной точке и точке М₀ (1,4,-2), если .

8. Найти экстремумы функции .

9. Цены на товар три раза повышались на 4%. На сколько процентов возросла цена по сравнению с первоначальной? На сколько процентов надо уменьшить достигнутую цену, чтобы она стала равна первоначальной?

10. Банк выплачивает клиентам 12% годового дохода. Какой процент годового дохода можно получить, ежемесячно снимая проценты и добавляя их к вкладу? До какой максимальной величины можно довести процент годового дохода? Все операции проводятся бесплатно.

Неустранимый разрыв первого рода (скачок) в точке х₀=0.

Разрыв второго рода в точке х₀=0.

Часто используется определение функции, непрерывной в точке в точке х₀ в другой форме. Введем предварительно понятие приращения функции f(х) в точке в точке х₀.

Приращением функции f(х) в точке в точке х₀ называется разность между значениями функции в точках (х₀+Dх) и х₀. Приращение f(х) обозначается Df(х).

Df(х₀)=f(х₀+Dх)- f(х₀). (2)

Например:

при f(х)=