Линейные стационарные цепи. Нелинейные цепи. Параметрические цепи, страница 8

Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно формально решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему. Действительно, в теории сигналов было показано, что входной сигнал всегда допускает представление вида:

(2.5)

Отвечающая ему выходная реакция:

(2.6)

Линейный оператор Т на основании принципа суперпозиции может быть внесен под знак интеграла. Далее, оператор Т «действует» лишь на величины, зависящие от текущего времени , но не от переменной интегрирования . Поэтому:

(2.7)

или окончательно:

(2.8)

Эта формула, имеющая фундаментальное значение в теории линейных систем, называется интегралом Дюамеля. Соотношение (2.8) свидетельствует о том, что выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свертку двух функций — входного сигнала и импульсной характеристики системы. Очевидно, формула (2.8) может быть записана также в виде:

(2.9)

Каков бы ни был конкретный вид импульсной характеристики физически осуществимой системы, всегда должен выполняться важнейший принцип: выходной сигнал, отвечающий импульсному входному воздействию, не может возникнуть до момента появления импульса на входе. Следовательно, импульсная характеристика физически реализуемой цепи равна нулю при отрицательных значениях аргумента. Легко видеть, что для физически реализуемой системы верхний предел в формуле интеграла Дюамеля может быть заменен на текущее значение времени:

(2.10)

Формула (2.10) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная система, выполняя обработку поступающего на вход сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших «в прошлом» при . Роль весовой функции выполняет при этом импульсная характеристика системы. Принципиально важно, что физически реализуемая система ни при каких обстоятельствах ие способна оперировать «будущими» значениями входного сигнала.

Импульсная характеристика однозначно связана с частотным коэффициентом передачи цепи преобразованием Фурье, а с коэффициентом передачи цепи – преобразованием Лапласа:

,

(2.11)

2.1.3  Переходная характеристика цепи

Переходная характеристика цепи – это реакция цепи на входное сопротивление в виде единичного скачка (функция включения).