Линейные стационарные цепи. Нелинейные цепи. Параметрические цепи, страница 7

2  Прохождение сигналов через линейные стационарные цепи

2.1  Характеристики линейных активных цепей

2.1.1  Частотный коэффициент передачи

Частотный коэффициент передачи цепи равен отношению комплексной амплитуды выходного сигнала к комплексной амплитуде входного гармонического сигнала на частоте ω:

,

(2.1)

Для физически реализуемой цепи АЧХ является четной функцией частоты, а ФЧХ – нечетной. Это следует из действительности импульсной характеристики цепи, рассмотренной ниже.

АЧХ физически реализуемой цепи удовлетворяет критерию Пэли – Винера:

,

(2.2)

Хотя критерий Пэли — Винера оставляет открытым вопрос о структуре цепи, из него вытекают некоторые полезные следствия о свойствах электрических цепей. В частности, из него следует, что АЧХ  должна быть интегрируемой в квадрате:

,

(2.3)

Только при этом условии числитель  растет с увеличением со медленнее, чем знаменатель , и условие (2.2) выполняется. Например, Гауссовский фильтр с передаточной функцией  не реализуется, так как числитель растет с увеличением со с такой же скоростью, что и знаменатель.

Второе следствие критерия Пэли – Винера: АЧХ может быть равной нулю только на некоторых дискретных частотах, но не в конечной или бесконечно большой полосе частот.

Действительно, если в полосе частот  функция , то  обращается в бесконечность и интеграл в (2.2) расходится.

Аналогично рассуждая, можно прийти к выводу, что фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы (практически можно получить характеристики, лишь близкие к П-образным).

2.1.2  Импульсная характеристика цепи

Импульсная характеристика цепи  – это реакция цепи на входное воздействие в виде дельта-функции ( – функция). Пусть некоторая линейная стационарная система описывается оператором T. Тогда функция  удовлетворяет уравнению:

(2.4)

Поскольку система стационарна, аналогичное уравнение будет и в случае, если входное воздействие смещено во времени на произвольную величину t₀:

(2.5)

Следует ясно представить себе, что импульсная характеристика, так же как и порождающая ее дельта-функция, есть результат разумной идеализации. С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например периодом ее собственных колебаний.