Математика. Часть 4 (Вычислительная математика): План-конспект лекционного курса

Международный институт экономики и права

INTERNATIONAL INSTITUTE OF ECONOMICS AND LAW

Е.Н. Платонов

МАТЕМАТИКА

Часть 4

(Вычислительная математика)

ПЛАН-КОНСПЕКТ ЛЕКЦИОНОГО КУРСА

Для студентов факультета экономики и управления

(Цикл общих математических
и естественно-научных дисциплин)

Автор-составитель канд. физ.-мат. наук, Е.Н. Платонов

Отв. за выпуск        зав. кафедрой информатики и математики,
канд. физ.-мат. наук, доц. Г.А. Цыганов

Математика. Часть 4 (Вычислительная математика): План-конспект лекционного курса / Автор-составитель Е.Н. Платонов. – М.:
МИЭП, 2004. – 83 с.

Курс разработан в соответствии с принятой в МИЭП концептуальной формулой образовательной деятельности. Для студентов факультета экономики и управления. Цикл общих математических и естественно-научных дисциплин.

© Международный институт экономики и права, 2004

Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, навигации, вычисления процентов и т.д. Вследствие этого математика всегда была наукой о числах,
ее целью являлось получение решения в виде числа. При этом для многих задач известно только о существовании решения, но не получено конечной формулы, представляющей это решение. Даже при наличии такой формулы ее использование с целью определения отдельных значений решения
может оказаться неэффективным. Наконец, всегда существует необходимость решать и такие математические задачи, для которых строгие доказательства существования решения на данный момент отсутствуют.

В настоящее время численные методы являются мощным математическим средством решения многих технических и экономических проблем. Это связано как с невозможностью в большинстве случаев получить точное аналитическое решение, так и со стремительным развитием компьютерной техники.

Параллельно с развитием численных методов шла разработка инструментальных средств вычислений, представлявших собой различные механические, а затем электромеханические устройства для выполнения арифметических операций. Причем прогресс в области инструментальных средств не оказывал заметного влияния на ход развития методов вычислений. Принципиальным образом ситуация изменилась с середины прошлого столетия, когда было осуществлено изобретение электронных вычислительных машин. В результате появления ЭВМ скорость выполнения
вычислительных операций выросла в миллионы раз, что позволило решить широкий круг бывших до этого практически не решаемыми математических задач. Широкое внедрение ЭВМ в практику научных и технических расчетов потребовало интенсивного развития методов численного решения самых разных математических задач, причем методов, рассчитанных
на реализацию именно на ЭВМ. Это связано с тем, что часть из ранее использовавшихся алгоритмов численного решения неэффективна при реализации на ЭВМ, а некоторые просто непригодны для такого использования.

Существуют многочисленные стандартные пакеты решения прикладных задач. Однако важно понимать сущность основных численных методов и алгоритмов, поскольку зачастую интерпретация результатов расчетов непроста и требует знания особенностей применяемых методов.

Во многих случаях вычислительный алгоритм решения сложной задачи строится из набора базовых компонент, представляющих собой алгоритмы решения некоторых стандартных математических задач. Изучение численных методов решения этих задач – необходимый элемент овладения
современной технологией математического моделирования.

Численные методы – это методы приближенного решения. Как правило, алгоритмы приближенного решения базируются на том, что исходная
математическая задача заменяется (аппроксимируется) некоторой более простой или чаще последовательностью более простых задач. Решение этих более простых задач трактуется как приближенное решение исходной задачи. Наука, изучающая численные методы, называется численным анализом или вычислительной математикой.

В силу приближенного характера вычислений процесс получения
решения связан с некоторыми основными требованиями, связанными
с численными схемами, – устойчивостью, сходимостью, высокой точностью, экономичностью. Некоторые из перечисленных требований являются противоречивыми, поэтому при выполнении исследований чем-то приходится жертвовать, например, точностью или экономичностью вычислений.

В конспекте лекций приведены теоретические сведения по некоторым разделам вычислительной математики. Все примеры использования этой теории вынесены в проблемно-тематический курс дисциплины «Математика. Часть 4. (Вычислительная математика)».

Основная литература

1.  Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.:
Бином, 2003.

2.  Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.:
Наука, 1988.

3.  Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. – М.: Изд-во МАИ, 2000.

4.  Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2003.

5.  Черняк А.А., Новиков В.А., Мельников О.И., Кузнецов А.В. Математика
для экономистов на базе MATHCAD. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

Дополнительная литература

6.  Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. – М.:
Наука, 1976.

7.  Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.: Наука, 1980.

8.  Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. – М.:
Изд-во МАИ, 2000.

9.  Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. – М.:
Физматлит, 2002.

10.  Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.

Тема 1. Погрешности при решении задач

Основные вопросы темы

1. Виды и источники погрешностей.

2. Погрешности арифметических операций.

3. Округление.

Почти всегда используемые на практике решения математических
задач имеют некоторые погрешности. Погрешность решения задачи обусловливается следующими причинами:

·  математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные;

·  применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного или
неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному;

·  при выполнении арифметических операций на ЭВМ или любым другим образом, как правило, производятся округления. Это же относится и к вводу чисел в память ЭВМ и выводу полученных
результатов.

Погрешности, соответствующие этим причинам, называются:

·  неустранимая погрешность (присутствует, даже если решение сформулированной задачи найдено точно);

·  погрешность метода (как правило, может быть оценена и поддается контролю);

·  вычислительная погрешность.