Евклидово пространство. Неравенство Коши Буняковского. Ортогональные векторы

  Скалярное произв на лин простр

Пусть L- лин простр. Говорят что на L определено скалярное произв,если всякой упорядоченной паре век -в a,вL, постав в соотв действ число обозначаемое (a,b) и обладающее следующими свойствами(аксиомы скаляр Произв):

1: (a,b)=(b,a)

2: (a+b,c)=(a,c)+(b,c)

3: (a,b)= λ(a,b)

4: (a,a)>0, если a≠0, (a,a)=0, если a=0

     Евклидово пространство

Линейное пространство на котором определены скалярн произв наз евклидовым

     простр

1: V2,V3 : (a,b)=|a| |b|-cos(a,^b)

2:Rn: x=(x1, x2, …, xn),y=(y1,y2,…yn)  (x,y)= x1y1+x2y2+…+xnyn

3: C[a,b] (ƒ,g)=

 Длина век-ра X определяется формулой:

      |x|=√(x,x)

Расстояние между векторами x и y определяется как число

Угол между векторами x и y обознач (x,^y) и определяются двумя условиями

1:  cos(x,^y)=

2:  0(x,^y)π

 Неравенство Коши Буняковского

Для любых двух векторов x и y евклид простр справедливо неравенство

|(x,y)|=|x|  |y|

Неравенство треугольника

Для любых двух векторов x и y евклид простр справедливо неравенство

|x+y|=|x| + |y|

Ортогональные векторы

2 век-ра наз ортгон если их скалярн произв=0

Ортогональная сист век-в

Сисиема век-в наз ортогон если всякие 2 различных векра из этой сист ортогон

Теорема о линнез ортогон сист

Всякая ортогон сист век-в лнз

Процесс ортогонализации

По всякой лнз сист век-в а1…ак еклид простр можно построить ортогон сист ненулев век-в в1…вк причем такую что лин оболочка <b1,..bl>=<a1,..al> для всех l≤k

Ортонорм базис

Базис образующий ортогонал(ортонормиров) сист век-в наз ортогон (ортонормир)

Теорема о сущ онб

В любом п-мерном евклид простр есть онб

Скалярное произв в онб

Пусть X= Y= столбцы коор-т век-в х и у в некотором онб.Тогда их скаляр произв (х,у)=х1у1+…xnyn=X^tY

Изоморфизм евклид простр

Отображение  евклид простр L1 в евклид простр L2 наз изоморфизмом,если -изоморфизм лин простр L1 в лин простр L2 и если  сохраняет скалярн произв ()=(а,в)  (а,в)

Теорема об изоморфизм евклид простр

Всякое n-мерное евклид простр изоморфно евклид простр  Rⁿ

Ортогон дополнение

Пусть L1-лин простр в евклид простр L.Множ-во всех век-в из L аждый из которых ортогонален каждому век-ру из L1, наз ортогональным дополнением и обозн L₁^- 

Теорема об ортогон дополнении

Ортогонал дополн L₁ подпростр L1 в евклид простр L явл подпростр в L, при этом dimL1+dimL1=dimL Теорема об ортогон проекц и ортогон составл

Пусть L евклид простр и L1 подпроср в L и х L.Тогда век-р х однозначно представим в виде х=y+z,где у L1(этот век-р наз ортогонал проекцией век-ра х на L1),а z L₁ (этот век-р наз ортогон составляющ век-ра х относит L1)

Ортогон матрица и ее определитель

Квад матрица Q наз ортонал,если Q^t = Q^-1 иначе равносильно Q^t Q=E

Если Q ортогон то det Q=1

Условие ортогон квад матрицы

След утвержд относит квад матр Q равносильны  Q ,Q^t ,Q^-1-ортогональны;столбцы матрицы Q образ онсист;строки матрицы Q образ онс

Теорема о (матр перехода от одного онб к другому ортогональна)

Обратно.Если матр от одного онб к другому явл ортогон и один из этих базисов он,то и др базис он

Сопряженный лин оператор

L-n-мерное евклид простр. Лин оператор А*наз сопряженным к лин опер А,если (Ах,у)=(х,А*у)  (х,уL)

Теорема о сопряж лин опер

Для всякого лин опер А на п-мерном евклид простр сущ сопряженный лин опер и при том единственный.В любом онб матрица сопряженного опер получ из матрицы А транпонированием

Самосопряж лин опер

Лин опер А наз самосопряженным если он совпадает со своим сопряж лин опер,те (Ах,у)=(х,Ау)  (х,уL)

Теорема о матр самосопряж опер

Лин опер А явл самосопряж ТТТК его матр в некотор онб явл симметрической,более того его матр тогда в любом онб явл симмтрической

Теорема о собств век-рах

Собствен век-ры х1,х2 самосопряж опер соотв различным собств значениям ортогональны

Теорема о корнях характерист многочлена

Все корни характерист многочлена самосопряж опер действительны

Теорема о сущ собств значения

Всякий самосопряж опер имеет хотя бы одно собствен значение

Теорема об инвариантности ортогонального дополнения

Если подпростр L1 инвариантно самосопряж лин опер А,то его ортогона дополнение L₁ также инвариантно относит А

Теорема о полноте собств век-в

Пусть А-самосопряж лин оператор на п-мерном евклид простран L.Тогда в L сущ онб из собств век-в опер А

Построение онб из его собственных век-в

L-n-мерное евклид простр и А-самосопряж лин опер на L 1)находим спектр  лин опер А  2)Для каждого i=1..s в собств подпростр L(λi) находим онб βi  3)β=-искомый базис

Квадр формаот п-переменных х1..хп наз однородный многочлен второй степени от этих переменных     q(x1..xn)=,где R при всех i,j причем

Канонич вид: q(x1..xn)= где aii

Матрицаэтой формы диагональная А=

Инвариантное задание кВ формы на евклид простр

Qx=(x,Ax)

Преобразование матр кВ формы при лин преобр переменных

При замене базиса с матрицей перехода Т матр кв формы преобразуется по формуле A’=T^tAT

Для лин опер справедлива формула A’=T^-1AT

Теорема о канон виде кв формы

Для любой кв формы евк прост-ва сущ онб в кот матр квад формы диагональна и эта квадр форма имеет каноническ вид

Теорема о ранге и опред матр квад формы

Ранг матр квад формы не зависит от выбора базиса

Если матр невырожд то знак ее определ не зависит от выбора базиса

Теорема закон инерции

Число положит(отриц) коэфф при квадр переменных в каноническом виде кВ формы не зависит от выбора базиса,в кот эта кВ форма имеет канон вид

Полож(отриц)определенные квадр формы

Квадр форма q наз полож(отриц) определенной если q(x)>0 (<0)  (xL, x≠0)

Критерий Сильвестера

Для того, чтобы кВ форма была 1)полож определ, необ и дост чтобы все угловые миноры ее матр в любом базисе были положит  2) отриц определен необ и дост чтобы знаки ее угловых миноров чередовались начиная с минуса(а₁₁<0)