Математика. Часть 4 (Вычислительная математика): План-конспект лекционного курса, страница 23

При практическом использовании методов значительная часть времени, отведенного на расчеты, затрачивается на вычисление значений функции или ее производных. Поэтому в тех случаях, когда вычисление значений функции намного проще вычисления ее производных, выгоднее пользоваться теми методами, которые для своей реализации требуют лишь
вычисления значений функции.

Важными характеристиками метода являются также область сходимости метода, устойчивость метода к погрешностям, объем памяти ЭВМ,
необходимый для реализации метода, удобство программирования, широта класса задач, к которым применим метод.

Большинство характеристик метода носит противоречивый характер. Иногда для сравнения методов используется набор тестовых задач и лучшим признается тот метод, с помощью которого удается решить эти задачи с нужной точностью за меньшее число итераций, меньшее число вычислений значений функции или ее производных, или за меньшее машинное время. Несомненно, такие “соревнования” методов полезны, хотя на их
основе нельзя делать окончательные выводы о преимуществах того или иного метода. Здесь следует также заметить, что один и тот же метод, примененный к решению одной и той же задачи, может привести к различным результатам в зависимости от того, на каком алгоритмическом языке составлена программа, каково качество программного обеспечения, на какой ЭВМ решается задача и т.д.

Конечно, хотелось бы иметь метод, наилучший во всех отношениях. Однако такого универсального метода нет, и вряд ли такой метод существует. Поэтому для эффективного решения конкретной задачи,
по-видимому, нужно разумно сочетать различные методы с учетом всевозможной априорной информации о решаемой задаче (гладкость исходных данных, выпуклость, физические или какие-либо иные соображения об области возможного расположения решения и т.д.), имеющихся вычислительных средствах, ресурсов машинного времени и т.п. В тех случаях, когда нет никакой априорной информации о задаче, которую нужно
решить, по-видимому, сначала полезно попробовать применить не очень точные, но простые методы, а затем на основе накопленной информации при необходимости перейти к более точным методам. Например, для задач оптимизации сначала можно использовать метод перебора с небольшим числом узловых точек, метод покоординатного спуска, метод случайного поиска, а затем градиентные методы.

Успешное решение различных классов прикладных задач невозможно без пакетов прикладных программ, состоящих из библиотеки подпрограмм, охватывающих достаточно много численных методов, а также управляющих и вспомогательных программ. В тех случаях, когда пользователь, т.е. специалист, проводящий расчеты, не является компетентным
в области численных методов, желательно иметь пакеты, работающие
в автоматическом режиме. Для работы в этом режиме пакет должен
содержать управляющую программу, обеспечивающую выбор наиболее подходящей последовательности используемых методов, их параметров
в зависимости от конкретной задачи.

Следует обратить внимание на то, что первоначальная постановка прикладных задач зачастую бывает достаточно грубой, упрощенной
и предполагает, что в процессе решения задача будет уточняться. Это значит, что первоначальный вариант задачи не всегда имеет смысл решать слишком точно. Иногда гораздо выгоднее решать с помощью простых
методов, с небольшой затратой машинного времени, чтобы получить грубые предварительные результаты и затем проанализировать их вместе
с экспертами или заказчиками. Уже при таком упрощенном анализе может выясниться, что некоторые параметры и ограничения, ранее казавшиеся несущественными и поэтому не учтенные в первоначальной постановке задачи, должны быть включены в нее, и наоборот, часть прежних параметров и ограничений могут оказаться несущественной и без ущерба для
существа задачи может быть опущена.

Иногда стремятся учесть многие детали задачи и создать слишком подробную математическую модель исследуемого процесса, а затем найти наилучшие, оптимальные решения. Однако такой подход может привести
к задаче с очень большим числом переменных или к слишком сложным функциям, и ее решение может встретить непреодолимые трудности.
Но даже в тех случаях, когда удается найти оптимальные решения,
их практическое использование может оказаться невозможным из-за того, что заказчик, будучи не в состоянии охватить полученную информацию, может не понять разумность выработанных на ее основе рекомендаций
и отказаться от них. Поэтому на первых этапах исследования прикладных задач желательно пользоваться простыми моделями, учитывающими
основные, определяющие параметры.

К сожалению, последнему совету удается следовать не всегда. Например, математические модели социально-экономических процессов, достаточно адекватно отражающих основные закономерности, как правило, чрезвычайно сложны, содержат большое число переменных и приводят
к задачам большой размерности.

Многое из сказанного здесь относится не только к математическим задачам, но и к любой экономической проблеме (поиск оптимального
решения в условиях неопределенности и ограниченности ресурсов),
требующей решения в тех или иных условиях.

Платонов Евгений Николаевич

МАТЕМАТИКА

Часть 4
(Вычислительная математика)

План-конспект лекционного курса

Редактор М.В. Егорова

Макет, верстка А.М. Моисеев

Корректоры Т.И. Маляренко, Г.В. Платова

Лицензия ИД № 00871 от 25.01.00. Подписано в печать 15.03.2004
Формат 60×84 ¹/₁₆. Усл. печ. л. 4,9. Изд. № 1584

Издательство МИЭП, типография МИЭП
107082, Москва, Рубцовская наб., д.3, стр.1