Математика. Часть 4 (Вычислительная математика): План-конспект лекционного курса, страница 11

Следовательно, пользуясь расчетом на сетке с шагом rh, удается оценить главный член погрешности расчета на сетке с шагом h. Если подставить найденную погрешность (7.13) в (7.12), то получим результат с более высокой точностью:

(7.14)

Метод Ромберга может быть использован для оценки погрешности расчета и получения результата с более высокой степенью точности при решении различных задач, когда возможен расчет какой-либо величины
на сетках с различным шагом, например, при численном дифференцировании, интегрировании, решении дифференциальных уравнений.

В качестве примера рассмотрим полученные формулы численного
интегрирования, имеющие более высокий порядок точности. Проведем расчет определенного интеграла по формуле трапеций с шагом 2h
(точки , ), а затем на сетке с шагом h (точки , , ). Обозначим
результаты расчетов через  и  соответственно. Порядок точности формулы трапеций равен двум, а сам остаточный член имеет такой же вид, как и в формуле (7.11). Обозначая более точное значение через F, проведем уточнение по формуле (7.14):

Таким образом, уточнение расчета формулы трапеций с использованием выражения (7.14) привело к формуле парабол, имеющей более высокий – четвертый порядок точности.

Подробнее см.: 1, 3, 4, 5, 9.

Тема 8. Метод статистических испытаний

Основные вопросы темы

1. Постановка задачи и общие положения.

2. Моделирование случайных величин с заданным законом распределения.

3. Теоретические основы метода Монте-Карло.

4. Вычисление интегралов методом Монте-Карло.

При изучении численных методов основной задачей являлось преобразование известной математической модели к виду, допускающему
эффективное численное решение, т.е. сведение всех математических понятий (производная, интеграл, дифференциальное уравнение и т.д.) к последовательности элементарных арифметических операций. Для дальнейшего существенно, что вместе с алгоритмом метода мы всегда получали оценку погрешности метода. Алгоритм считался хорошим лишь в том случае, если малые погрешности, содержащиеся в исходных данных и внесенные
в процессе преобразований или вычислений, не влияли неприемлемым
образом на результат вычислений. Процесс отыскания решения при таком подходе являлся строго детерминированным, т.е. при повторении приводил к тому же результату.

Однако существует целый ряд задач, для которых разработка
и использование детерминированных методов оказывается практически невозможным и нецелесообразным. Примером такой задачи может быть задача вычисления кратного интеграла. Например, для вычисления пятикратного интеграла и обеспечения приемлемой точности понадобится
более десяти миллиардов узлов.

Другой проблемой, возникающей при решении практических задач, является то обстоятельство, что формулировка модели в виде системы уравнений, допускающей численное решение, представляет значительные сложности или оказывается невозможной. Такая ситуация является обычной при изучении реальных сложных систем, состоящих из большого числа различных по природе и сложным образом взаимодействующих элементов, функционирующих в условиях большого числа случайных факторов. К сложным системам относятся крупные технологические и производственные комплексы, экономические и социологические системы и т.п.
Одним из признаков сложных систем является принципиально вероятностный характер их функционирования в условиях большого числа случайных факторов.

Общим способом решения таких проблем являются методы статистических испытаний. С помощью этих методов задачи решаются путем
моделирования случайных реализаций, имитации случайных процессов, происходящих в сложных системах, с последующей оценкой их вероятностных характеристик. Принято различать два основных класса методов статистических испытаний: численные методы статистических испытаний (методы Монте-Карло) и методы имитационного моделирования.

Суть численных методов статистических испытаний заключается
в установлении связи между величинами, являющимися решением задачи (например, значением интеграла) и вероятностными характеристиками
некоторого случайного процесса, такими, как вероятность, математическое ожидание и др. Выбор конкретной случайной величины обусловливается особенностями задачи. Существенной чертой методов Монте-Карло является вероятностная оценка погрешности вычислений.

Суть методов имитационного моделирования заключается в моделировании физических представлений о реальном явлении или процессе функционирования системы.

Перечислим основные математические задачи, для которых построены вероятностные модели: вычисление кратных интегралов, решение систем линейных уравнений, обращение матриц, нахождение собственных значений и собственных векторов матриц, решение краевых задач и др.

Основные идеи метода Монте-Карло рассмотрим на двух простых примерах.

Предположим, что нам нужно вычислить площадь плоской фигуры S. Это может быть произвольная фигура с криволинейной границей, заданная графически или аналитически, связанная или состоящая из нескольких кусков. Пусть это будет фигура, изображенная на рис. 3, и пусть она вся лежит внутри единичного квадрата.

                      Рис. 3

Выберем внутри квадрата N случайных точек. Обозначим через  число точек, попавших внутрь S. Геометрически очевидно, что площадь S приближенно равна . Чем больше N, тем больше точность этой оценки. В примере, изображенном на рис. 3, выбраны 30 точек. Из них 11 оказались внутри S. Отношение  равно , в то время как истинная площадь S равна 0,31. Таким же образом можно вычислять объемы трехмерных фигур и “многомерные объемы” тела в многомерном пространстве.

Второй пример – задача Бюффона, в которой предложен случайный процесс, позволяющий вычислить число . Пусть имеется семейство равноотстоящих параллельных прямых с расстоянием между прямыми, равным d, и игла длины .

При случайном бросании иглы ее средняя точка может упасть на расстоянии x от какой-либо прямой . Угол между иглой и нормалью к прямой обозначим через φ. Игла пересекается с одной из прямых при условии  для . Вероятность такого положения иглы вычисляется по формуле