|
(9.15) |
Формула (9.15) и есть основная формула метода Эйлера с пересчетом. Подобные схемы часто называют схемами типа прогноз-коррекция. Сначала по формуле (9.12) определяется прогнозируемое приближение решения, а затем по формуле (9.15) это решение уточняется.
Метод Эйлера с пересчетом обладает третьим
порядком точности
на шаге и, соответственно, вторым порядком
точности на интервале. Кроме того, он дает двустороннее приближение к
решению.
Отметим, что поскольку нулевое приближение итерационного процесса задано, то процесс (9.14) можно продолжать до достижения заданной точности. Однако последующие итерации не повышают порядка точности схемы, и поэтому на практике используют одну-две итерации. Далее будет показано, что методы Эйлера являются частными случаями двухстадийных схем Рунге-Кутты.
Метод Рунге-Кутты
Метод Рунге-Кутты позволяет строить схемы
различного порядка точности. Основная идея метода состоит в построении
специального алгоритма – такого, чтобы приращение функции на шаге совпадало с приращением
, которое определяется из ряда
Тейлора (9.10) с учетом возможно большего числа членов. При этом вторые и
следующие производные определяются не дифференцированием, а путем многократного
вычисления функции
в некоторых промежуточных
точках между
и
.
Проиллюстрируем основные идеи метода на примере получения схем второго порядка точности.
Оставим в разложении (9.10) члены вплоть
до , имея в виду, что последний член
разложения соответствует предполагаемому порядку точности схемы. Имеем
|
(9.16) |
Чтобы избежать явного дифференцирования,
заменим вторую производную в соотношении
(9.16) разностью
|
(9.17) |
Величины ,
и
подбираются
так, чтобы обеспечить нужный
порядок точности. Подставляя выражение (9.17) в (9.16), получаем
|
(9.18) |
Полагая ,
, обозначая
и
имея в виду,
что , и, следовательно,
. С учетом того, что
, перепишем выражение (9.18) в виде
|
(9.19) |
Параметры α и δ определяются из условия наилучшего соответствия выражения (9.19) ряду (9.10). Принимая
и, подставляя это соотношение в (9.18), имеем
|
(9.20) |
Перепишем ряд (9.10) в виде
|
(9.21) |
Из сравнения формул (9.20) и (9.21) видно,
что первые три члена
в этих формулах совпадают, если . Выражая δ
через α и подставляя в (9.19), получаем однопараметрическое семейство
разностных схем Рунге-Кутты второго порядка точности. В результате
|
(9.22) |
Схема (9.22) при имеет
третий порядок точности на шаге и второй на интервале. Из (9.20) можно получить
рассмотренные разностные схемы. Так при
имеем
метод Эйлера, выражаемый формулой (9.12), при
–
первую итерацию метода Эйлера с пересчетом, а при
–
так называемый метод хорд.
Аналогичным образом могут быть получены и
схемы Рунге-Кутты более высокого порядка точности. В настоящее время наиболее
распространена схема четвертого порядка точности, которая используется
в большинстве стандартных программ на компьютерах. Эта схема имеет вид
Многошаговый метод Адамса
В предыдущих схемах решение в точке вычисляется с использованием решения
только в одной точке
. Логично предположить,
что можно повысить точность метода, если использовать информацию
о поведении решения в предыдущих точках .
Такие методы получили название многошаговых.
Общая схема построения многошаговых
методов выглядит следующим образом. Пусть нам известно приближенное решение в
нескольких узлах сетки . Следовательно,
в этих точках отрезка известно
и значение правой части дифференциального
уравнения (9.9)
при , причем
будет
уже функцией только одной переменной
. Заменим функцию
интерполяционным многочленом Лагранжа
и
вычислим значение
, проинтегрировав (9.9) на
отрезке
. Находим
|
(9.23) |
Проведя интегрирование, находим разностную схему для решения дифференциального уравнения. Порядок схемы определяется величиной остаточного члена интерполяционного полинома.
В случае, когда для построения
интерполяционного многочлена
используется четыре узла , получается формула
Адамса,
которая на сетке с постоянным шагом записывается в виде
|
(9.24) |
где .
Метод
Адамса имеет четвертый порядок точности на интервале. Чтобы начать счет
по формуле Адамса, необходимо знать решение в четырех
начальных точках .
По существу, интерполяционный многочлен в формуле (9.23) используется вне
области интерполяции, т.е. в данном случае это экстраполяционный многочлен. Однако
поскольку интервал
мал,
то ошибка за счет экстраполяции невелика. Недостающие значения функции
вычисляются в точках , как правило, по методу
Рунге-Кутты соответствующего порядка, что является недостатком метода, так как
увеличивает объем программы для компьютера. Преимущество многошаговых методов
заключается в том, что на каждом шаге правая часть дифференциального уравнения
вычисляется только один раз, а в методе Рунге-Кутты четвертого порядка точности
на каждом шаге функция вычисляется четыре раза. Здесь, естественно, необходимо
учитывать соотношение
шагов двух методов, обеспечивающих заданную точность. В случае, когда правая
часть дифференциального уравнения является функцией только
одной переменной x, остаточный член в формуле
Рунге-Кутты четвертого порядка точности на равномерной сетке равен остаточному
члену формулы трапеций численного
интегрирования с шагом
, следовательно
В формуле Адамса остаточный член
Таким образом, остаточный член в первом
случае на три порядка меньше чем во втором. Следовательно, для получения
результата с одной
и той же точностью можно шаг в методе Рунге-Кутты брать примерно
в шесть раз большим, чем в формуле Адамса.
Достоинство метода Адамса по сравнению с
методом Рунге-Кутты
заключается в простоте оценки остаточного члена метода.
На этом мы закончим рассмотрение численных методов решения дифференциальных уравнений. В заключении заметим, что существуют также численные методы решения краевых задач и дифференциальных уравнений в частных производных.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.