Алгебраические линии и поверхности второго порядка

Глава 3. Алгебраические линии и поверхности второго порядка.

§3.1. Алгебраические линии второго порядка.

Плоская линия L, заданная уравнением Ф(x,y)=0, называется алгебраической, если  функция Ф(x,y) представляется конечным слагаемых вида :

α_{kL *}x^k_*y^L ,где k и L –целые неотрицательные числа, α_kL  - константы.

Наибольшее значение суммы (k+L) называется порядком алгебраической линии.

Линии, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными.

Пример 1:

x²+y²-1=0    – алгебраическая линия второго порядка(окружность единичного радиуса с центром в начале координат).

Пример 2:

y – x + x³/3! - x⁵/5! + x⁷/7! - … =0    трансцендентная линия(бесконечный ряд).

В соответствии с определением, общие уравнения первого и второго порядков имеют вид:

линии 1-го порядка:

^α1,0Ax +  ^α0,1By + ^α0,0C ,                   (1)

A и B не равны нулю.

Это прямые линии.

линии 2-го порядка:

Ax² + Bx²y + Cy² + Dx + Ey + F = 0,         (2)

 A,B,C не равны нулю одновременно.

Пусть коэффециенты A,B,….,F  в уравнениях (1) и (2) имеют некоторые значения, такие, что в выбранной системе координат OXY эти уравнения определяют некоторые конкретные линии.

Если выбрать другую систему координат, то уравнения для этих линий станут другими.

При этом существенные обстоятельства:

1)  в новой системе  линии по прежнему будут алгебраическими, причем порядок её сохранится;

2)  можно так подобрать новую систему координат, что уравнения данной линии примут простейший(канонический) вид. Эта система называется канонической для данной линии .

Очевидно, что прямая , заданная уравнением (1), в своей канонической системе будет иметь простейшее уравнение x^/=0  или  y^/=0:

OXY  : Ax + By + C = 0

O^/X^/Y^/: y^/=0

Несколько сложнее с уравнением (2) :

В зависимости от соотношений между коэффециентами A,B,…,F ,уравнение (2) можно привести к одному из простейших видов(в соответствующей канонической системе координат O^/X^/Y^/):

1)  x^// a² + y^// b² = 1    (эллипс)

2)  x^// a^{2 –}  y^// b² = 1     (гипербола)

3)   y^/2 = 2px^/               (парабола)

4)    a²x^/2 – b²y^/2 = 0    (две прямые, пересекающиеся в начале координат)

5)     y^/2 – a² = 0           (две параллельные прямые)

6)     y^/2 = 0                  (одна прямая)

7)  a²x^/2 + b²y^/2 = -1 (круг радиуса ноль,т.е. точка)

8)  x^/2 / a^/2  +  y^/2 / b²               (этим двум уравнениям  8 и 9 не     )

9)  y^/2 + a² = 0                    ( удовлетворяет ни одна точка        )

Эллипс:

В    OXY   : Ax² + Bxy + Cy² + …= 0

В    O^/X^/Y^/ : x^/2 / a² + y^/2 / b² = 1  (система каноническая)

Замечание :

Подобрать для заданного уравнения каноническую систему координат не просто.

Линиями 1) – 9) исчерпываются все кривые, определяемые уравнением (2).

Таким образом осталось исследовать форму и свойства эллипса,гиперболы и параболы, заданных своими каноническими уравнениями.

Эти линии можно рассматривать ещё и как канонические сечения.

Эллипс : плоскость пересекает образующие только одной полости конуса.

Гипербола: плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса.

Парабола: плоскость параллельна одной из образующих конуса.

Движение частицы в гравитационном поле точечного тела происходит по одному из конических сечений.

ЭЛЛИПС.

Каноническое уравнение      x² / a² + y² / b² = 1     (1)

a>0, b>0   (2).   Будем всегда считать, что a ³ b т.к. в другом случае всегда можно выбрать другую систему координат, сделав замену x наy и y на x.

Числа a и b называют соответственно большой и малой полуосью эллипса.

При a = b получим окружность.

Обозначим C º(a²  - b²)^½   (т.е. корень из разности квадратов)

      Можно показать, что эллипс определяемый уравнением (1) – есть множество точек, для которых сумма  расстояний  r₁  и  r₂  до двух фиксированных точек F₁(-C,0) и   F₂(C,0),

называемых фокусами, есть величина  постоянная и равна 2a :

  r₁ + r₂ =2a   

A₁(-a,0) ;  A₂(a,0)

B₁(0,-b)  ; B₂(0, b)

F₁(-C,0)  ; F₂(C,0)

x² / a² + y² / b²  = 1

 r₁+r₂ = 2a

a ≥ b

D_{1 и} D₂ – директрисы

С = (a² – b²)^½  (т.е. квадратный корень из разности квадратов а и b)

Можно доказать, что при любом положении точки М:

{ r₁ = a + ex ;

{ r₂ = a – ex .            (5)

где    e = C/a = (1 - b² / a² )^½ < 1        (6)      - эсцентриситет эллипса.

Эта величина характеризует степень вытянутости эллипса.

Директрисы эллипса – это две прямые, определяемые уравнениями :

1)  x = - a/e   (отвечает фокусу F₁)

2)  x = + a/e  (отвечает фокусу F₂)

Расстояние от М до D₁  есть d_1,  расстояние от М до D₂  есть d₂.

Пусть r₁ иd₁    расстояния произвольной точки эллипса N соответственно до  фокуса F₁ и отвечающей ему директрисы D_{1 ,} аналогично  r₂ и d₂.

Тогда справедливо равенство:

r₁ / d₁ = r₂ / d₂ = const = e

Из рисунка ясно, что при любом x :   d₁ = a / e + x ; d₂ = a / e – x

Добавим (5) и получим (8)

Оптическое свойство эллипса.

α = β  - свойство эллипса.

 n – нормаль. 

Все лучи, выходящие из F₁, собирутся в F₂.

§3.3 ГИПЕРБОЛА.

Каноническое уравнение гиперболы :  x² / a²  -  y² / b² = 1            (1)

Гипербола задаётся парой чисел, называемых действительной и мнимой полуосями гиперболы.

C = (a² + b²)^½  ; a>0, b>0.     (2)

Можно доказать, что гипербола есть множество точек, для которых абсолютна величина разности расстояния r₁ и r₂ до двух фиксированных точек F₁ (-C,0) и F₂(C,0), называемых фокусами, есть величина   const = 2a .

| r₁ – r₂ | = 2a              (3) – уравнение гиперболы, эквивалентно (1).

Рис

Эксцентриситет гиперболы: e  (x = ± a / e)

Можно сказать, что

  r₁ = { a + ex; x>0

         { a – ex; x<0                                  (4)

 r₂ =  {  a + ex; x>0

         { a -  ex; x<0

(х – координата точки М)

e = C / a  =  (1 + a² / b²)^½                        (5)

Свойства гиперболы:

1)  если r₁ и d₁ -  расстояния произвольной точки  M(x,y) до F₁ и до отвечающей этому фокусу d_1, а числа r₂ и d₂ – аналогично, то    r₁ / d₁ = r₂ / d₂ = const = e  (6)

      Доказательство: пусть x>0, то из рисунка видно, что  d₁ = x + a / e ;  d₂ = x – a / e.

       Отсюда следует, условие (6)

2)  оптическое свойство:

 

α = β

Все лучи, выходящие из F₁ , после отражения кажутся исходящими из F₂.

      §3.4. ПАРАБОЛА.

Каноническое уравнение параболы:  y = 2px      (1)

Парабола задаётся параметром  p>0.

Легко доказать, что парабола ( из (1) )  есть геометрическое место точек, для которых расстояние  r  до фокуса равно расстоянию до директрисы d, заданной уравнением x = p/2.

  r = d                                (2)  - уравнение параболы, эквивалентно (1)

Если r и d  - расстояния точки эллипса (гиперболы) до фокуса и до отвечающей этому фокусу директрисы, то отношение r / d = e (эллипса(гиперболы)), то по аналогии:

e = r / d = 1  (параболы).

Оптическое свойство параболы:

α = β

Лучи, выходящие из фокуса, после отражения идут параллельно оси параболы. Это свойство широко применяется   в технике.

§3.5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Поверхность S , заданная уравнением f(x,y,z) = 0 , называется алгебраической, если f(x,y,z) представляется конечным числом слагаемых вида α _klmx_ky_lz_m, где k,l,m –целые неотрицательные числа, а α_klm – некоторая const.

Наибольшее значение суммы k+l+m называется порядком алгебраической суммы  или алгебраическим порядком.

В соответствии с этим определением, общие уравнения поверхностей первого и второго порядков имеют вид:

1-й порядок

αx^/y⁰z⁰ + αx⁰y^/z⁰ + αx⁰y⁰z^/ + αx⁰y⁰z⁰   из этого следует:

Ax + By + Cz + D = 0

A, B, C = 0 одновременно.

2-й порядок

Ax² + By² + Cz² + Dxy + Eyz + Mzx + Gx + Hy + Kz+_L=  0

Здесь первые шесть коэффециентов не равны нулю одновременно.

Для любой поверхности S, заданной в некоторой системе координат (O,X,Y,Z) уравнением вида Z можно так подобрать новую систему координат (O^/X^/Y^/Z^/),

что уравнение этой поверхности примет простейший(канонический) вид. При этом  порядок поверхности сохраняется.Такую систему координат называют канонической для данной поверхности.

Важнейшие поверхности 2-го порядка:

1)эллиптический цилиндр:

x² / a² + y² / b² = 1

Замечание:

Гиперболический цилиндр   x²/a² + y²/b² = 1

Параболический цилиндр      y² = 2px

2)эллипсоид

x² / a² + y² / b² + z² / c² = 1

a,b,c – полуоси эллипсоида .

Сечение эллипсоида плоскостью z = h (h ≤ c):

x² / a² + y² / b² = 1 – h² / c²

Обозначим a* = a(1 – h² / c²)^½

                     b*= b(1 – h² / c²)^½

отсюда следует x² / (a*)² + y² / (b*)² = 1        (эллипс с полуосями)

карта эллипсоида(сечения поверхности плоскостями z = const = h)

Карты :

x = const

y = const

z = const

Если a = c то такая поверхность называется эллипсоидом вращения .

Можно доказать, что линии пересечения этого эллипсоида с любыми плоскостями представляют собой эллипсы.

3)Однополостный гиперболоид

x² / a² + y² / b² - z² / c² = 1

Карты: сечение любой плоскостью z = const даёт эллипс

(x - const) сечение через A,B,C – гипербола с уравнением x² / y² - z² = 1.

Cвойство:

наличие прямолинейных образующих . Это линии, всеми своими точками лежащие на поверхности.

Можно доказать, что через каждую точку поверхности однополостного гиперболоида проходят две прямолинейные образующие.